Ammettenza termica

Da TecnoLogica.

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Grandezza fisica
Tipologia	Derivata scalare estensiva
Simbolo:	$LaTeX: Y$
Unità di misura
Sistema internazionale:	watt/metro quadro kelvin (W/m²K)
Sistema tecnico:
Sistema imperiale:
Branca fisica:	Termodinamica

Definizioni

Ampiezza complessa della densità di flusso termico attraverso la superficie del componente adiacente ad una zona termica diviso l’ampiezza complessa della temperatura della medesima zona.^[1]

Descrizione

L'ammettenza termica è una grandezza che consente di determinare la temperatura di un elemento in regime dinamico, e cioè che cambia istante per istante. La fluttuazione deve avere carattere periodico: tutte le temperature devono cioè ripetersi dopo che è trascorso un ben determinato tempo $LaTeX: t$ , detto appunto periodo.
Questa condizione si ritrova nel calcolo dei flussi termici che attraversano per conduzione gli elementi tecnici che formano un particolare ambiente interno e per tale motivo l'ammettenza è una grandezza utilizzata come parametro negli algoritmi di calcolo della temperatura dell'aria. In questo caso, la periodicità nella variazione della temperatura è assicurata dalla fluttuazione periodica (nell'arco della giornata o dell'intero anno) della temperatura esterna.
Conoscendo la funzione $LaTeX: \vartheta_{a} [t]$ che descrive l'andamento della temperatura in funzione del tempo $LaTeX: t$ è possibile calcolarne la media $LaTeX: \vartheta_{am}$ ; l'ammettenza è quel parametro che permette di determinare il flusso termico che attraversa per conduzione l'elemento ogni volta che $LaTeX: \vartheta_{a} [t] \ne \vartheta_{am}$ , cioè quando la temperatura nell'istante considerato differisce dalla temperatura media. Ne consegue che alti valori di ammettenza permettono un maggiore flusso termico tra gli elementi, a parità di differenza di temperatura.
L'ammettenza è una delle grandezze che concorre a definire quella caratteristica degli ambienti detta inerzia termica, e cioè la capacità di opporsi alla fluttuazione della temperatura, contenendo lo scarto esistente tra la massima e la minima.

Calcolo

Elementi opachi

La modalità di calcolo si applica a tutti gli elementi costituiti da uno o più strati di materiale.
Per ogni strato esistente occorre conoscere:

lo spessore $LaTeX: d$ , e cioè la dimensione lungo la quale avviene il passaggio del flusso termico (metri);
la conduttività termica $LaTeX: \lambda$ (watt al metro kelvin);
la massa volumica $LaTeX: \rho$ (chilogrammi al metro cubo);
la capacità termica $LaTeX: c$ (joule al kelvin);

si stabilisce:

il periodo di osservazione $LaTeX: t$ (secondi) che per oscillazioni di un giorno è pari a 86400;

si calcolano:

la profondità di penetrazione periodica $LaTeX: \delta=\sqrt{\frac{\lambda t}{\pi\rho c}}$ ;
il rapporto $LaTeX: \xi=\frac{d}{\delta}$ .

Queste infirazioni permettono di costruire per ogni strato la matrice di trasferimento termico, e cioè la matrice $LaTeX: \underline{M}$ di dimensioni 2x2 le cui componenti sono:

$LaTeX: \underline{m}_{11} = \underline{m}_{22} = \cosh{\xi} \cos{\xi}+\imath \sinh{\xi} \sin{xi}$

$LaTeX: \underline{m}_{12} = -\frac{\delta}{2\lambda} [\sinh{\xi} \cos{\xi} + \cosh{\xi} \sin{\xi} + \imath ( \cosh{\xi} \sin{\xi} - \sinh{\xi} \cos{\xi})]$

$LaTeX: \underline{m}_{21} = -\frac{\lambda}{\delta} [\sinh{\xi} \cos{\xi} - \cosh{\xi} \sin{\xi} + \imath ( \cosh{\xi} \sin{\xi} + \sinh{\xi} \cos{\xi})]$ .

Numerati tutti gli strati - dal più interno al più esterno - da 1 a n, detta quindi $LaTeX: \underline{M}_j$ la matrice del generico componente j, la matrice di trasferimento termico dell'intero elemento tecnico si ottiene come:

$LaTeX: \underline{M} = \underline{M}_i \left( \prod_{j=1}^n \underline{M}_j \right) \underline{M}_o$ ,

dove $LaTeX: \underline{M}_i$ e $LaTeX: \underline{M}_o$ sono le matrici di trasferimento degli strati d'aria interno ed esterno, calcolate come:

$LaTeX: \underline{M} = \begin{vmatrix} 1 & -R \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$

avendo posto $LaTeX: R$ pari alla resistenza termica superficiale dell'aria interna (0.22 m² K/W) e dell'aria esterna (0.07 m² K/W). Anche nel caso di intercapedini d'aria, indifferentemente dal loro spessore, la costruzione della matrice è la stessa, utilizzando il valore di resistenza di 0.22 m² K/W.
Costruita la matrice, l'ammettenza dell'elemento tecnico sul generico lato j (con j pari a 1 se l'ammettenza cercata è sul lato interno, pari a n su quello esterno) è pari al modulo del rapporto:

$LaTeX: Y = \left| \frac{\underline{M}_{jj}-1}{\underline{M}_{12} }\right| = \sqrt{\mathfrak{R} \left( \frac{\underline{M}_{jj}-1}{\underline{M}_{12} \right)^2 - \mathfrak{I} \left( \frac{\underline{M}_{jj}-1}{\underline{M}_{12} \right)^2$

dove $LaTeX: \mathfrak{R}$ e $LaTeX: \mathfrak{I}$ rappresentano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso $LaTeX: \frac{\underline{M}_{jj}-1}{\underline{M}_{12}}$ .