Matrice di trasferimento termico

Da TecnoLogica.

Definizioni

Matrice che mette in relazione le ampiezze complesse delle temperature e del flusso termico su un lato del componente con le omologhe ampiezze sull’altro lato.[1]

Descrizione

In uno strato di materiale di dimensioni finite, soggetto a temperature e flussi termici varianti nel tempo con leggi armoniche, è possibile correlare i flussi termici aerici e le temperature agenti su entrambi i lati dello strato con la relazione:

LaTeX: \begin{bmatrix} \vartheta_1 \\ q_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \underline{m}_{11} & \underline{m}_{12} \\ \underline{m}_{21} & \underline{m}_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vartheta_2 \\ q_2 \end{bmatrix} ,

dove:

  • LaTeX: \vartheta_1 e LaTeX: \vartheta_2 sono le temperature sui due lati dello strato;
  • LaTeX: q_1 e LaTeX: q_2 sono i flussi termici aerici sui due lati dello strato.

La matrice LaTeX: \underline{M} di componenti 2x2 prende il nome di Matrice di trasferimento termico.
Con la matrice è possibile calcolare diverse caratteristiche del materiale, quali:

Calcolo

Dato un elemento tecnico composto da successivi strati di materiale termicamente omogeneo, si numerano gli strati da 1 a n.
Per comodità, si cosidererà lo strato 1 come il più interno, e quello n come il più esterno.
Per ogni strato esistente occorre conoscere:

si stabilisce:

  • il periodo di osservazione LaTeX: t (secondi) che per oscillazioni di un giorno è pari a 86400;

si calcolano:

  • la profondità di penetrazione periodica LaTeX: \delta=\sqrt{\frac{\lambda t}{\pi\rho c}};
  • il rapporto LaTeX: \xi=\frac{d}{\delta}.

Queste indicazioni permettono di costruire per ogni strato la relativa matrice di trasferimento termico, e cioè la matrice LaTeX: \underline{M} di dimensioni 2x2 le cui componenti sono:

LaTeX: \underline{m}_{11} = \underline{m}_{22} = \cosh{\xi} \cos{\xi}+\imath \sinh{\xi} \sin{xi}

LaTeX: \underline{m}_{12} = -\frac{\delta}{2\lambda} [\sinh{\xi} \cos{\xi} + \cosh{\xi} \sin{\xi} + \imath ( \cosh{\xi} \sin{\xi} - \sinh{\xi} \cos{\xi})]

LaTeX: \underline{m}_{21} = -\frac{\lambda}{\delta} [\sinh{\xi} \cos{\xi} - \cosh{\xi} \sin{\xi} + \imath ( \cosh{\xi} \sin{\xi} + \sinh{\xi} \cos{\xi})].

Detta quindi LaTeX: \underline{M}_j la matrice del generico componente j, la matrice di trasferimento termico dell'intero elemento tecnico si ottiene come:

LaTeX: \underline{M} = \underline{M}_i \left( \prod_{j=1}^n \underline{M}_j \right) \underline{M}_o,

dove LaTeX: \underline{M}_i e LaTeX: \underline{M}_o sono le matrici di trasferimento degli strati d'aria interno ed esterno, calcolate come:

LaTeX: \underline{M} = \begin{vmatrix} 1 & -R \\ 0 & 1 \end{vmatrix}

avendo posto LaTeX: R pari alla resistenza termica superficiale dell'aria interna (0.22 m2 K/W) e dell'aria esterna (0.07 m2 K/W). Anche nel caso di intercapedini d'aria, indifferentemente dal loro spessore, la costruzione della matrice è la stessa, utilizzando il valore di resistenza di 0.22 m2 K/W.

Voci correlate

Note

  1. ↑ UNI EN ISO 13786:2008
La consultazione di TecnoLogica è preordinata alla lettura delle avvertenze

Ogni contributore è responsabile dei propri inserimenti.
Il progetto è opera di Luca Buoninconti © 2011-2024.

Estratto da "http://www.tecnologica.altervista.org/php5/index.php?title=Matrice_di_trasferimento_termico"
Strumenti personali