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Cerchio di Mohr

Da TecnoLogica.

Indice

Descrizione

È una costruzione geometrica che si costruisce partendo da un tensore di secondo ordine piano simmetrico grazie alla quale è possibile determinare per via grafica:

  • le componenti del vettore che il tensore associa ad una generica direzione αn;
  • le direzioni principali del tensore, e i relativi autovalori.

Per fare ciò, occorre:

  1. eseguire la costruzione del cerchio
  2. individuare un punto notevole, detto polo.

Grazie al cerchio di mohr, i risultati grafici possono permettere anche la soluzione analitica dei problemi affrontati, tanto da essere spesso il metodo preferito rispetto alle tradizionali tecniche di determinazione tipiche dell'algebra tensoriale.
I motivi che stanno alla base dell'efficacia di questa particolare costruzione geometrica sono contenuti nel lemma che ne riporta la dimostrazione.

Costruzione

TensSymPiano.png

Sia dato il tensore simmetrico piano LaTeX:  \mathbf{S} di coordinate:

LaTeX:  \mathbf{S} = \begin{bmatrix} s_{11} & s_{12} \\ s_{21} & s_{22} \end{bmatrix} ,

la cui rappresentazione nel piano è riportata nel disegno a fianco.
Questo tensore dà origine ad un cerchio di Mohr, che può essere tracciato seguendo le indicazioni che seguono.
Si tracci un sistema di assi coordinati ortogonali n0t, con n asse orizzontale, e si riportino su di esso i valori delle componenti s11 e s22; se le componenti sono positive, allora saranno positive anche le loro rappresentazioni su n.
Ad esempio, se s11 = 5 e s22 = 2, i punti da inserire nel diagramma per costruire il cerchio di Mohr avranno rispettivamente coordinate (5, 0) e (2, 0). Allo stesso modo, se s11 = -3 e s22 = 1, allora i punti avranno coordinate (-3, 0) e (1, 0).
Si procede quindi a riportare i valori delle componenti miste s12 e s21 secondo la convenzione di Mohr. Se nella rappresentazione del tensore (disegno in alto) la componente s12 ruota in senso antiorario intorno all'origine degli assi, allora deve essere riportata negativamente sul diagramma; in caso contrario, se s12 ruota in senso orario intorno all'origine, allora è positiva. Stabilito il segno, il vettore deve essere disegnato verticalmente (parallelo quindi all'asse t) a partire dall'estremo del vettore s11 precedentemente tracciato sull'asse n.
Il vettore s21 deve invece essere disegnato in verticale, a partire dall'estremo del vettore s22, ma dal lato opposto rispetto a s12. Tenendo conto quindi della convenzione di Mohr sui segni, i punti estremi dei vettori s21 e s22 avranno coordinate (s11, -s12) e (s22, s21); unendo questi due punti è possibile trovare geometricamente il centro C del cerchio - intersezione del segmento con l'asse n - e il raggio - metà del medesimo segmento. CostrMohr.png
In termini algebrici, l'ascissa del cerhio è pari a:

LaTeX:  C = \frac{s_{11} + s_{22}}{2},

mentre il raggio è:

LaTeX:  r = \sqrt { \frac{\left( s_{11} + s_{22} \right)^2}{4} + s_{12} ^2 } .

Polo e antipolo

MohrPolo.png

Il polo è un punto notevole che si trova sulla circonferenza; nella notazione utilizzata è contrassegnato con P.
La sua determinazione grafica è molto semplice:

  1. si traccia una retta orizzontale passante per la punta del vettore che rappresenta la componente s12;
  2. si traccia una retta verticale passante per la punta del vettore che rappresenta la componente s21;

l'intersezione tra le due rette individua il punto P.
Analiticamente, le coordinate del polo sono P = ( s22, - s12).
Il polo permette sia di inidividuare le componenti del vettore che il tensore associa ad una generica direzione che di trovare gli autovettori delle direzioni principali (per la procedura di entrambi, vedi i paragrafi successivi).

MohrAntip.png

Alcune volte, però, può essere utile indivduare un secondo punto, detto antipolo, che nella notazione utilizzata è contrassegnato con P'.
L'antipolo è il punto diametralmente simmetrico rispetto al centro del cerchio; per tale motivo, volendolo determinare graficamente, si procede così:

  1. si traccia una retta verticale passante per la punta del vettore che rappresenta la componente s12;
  2. si traccia una retta orizzontale passante per la punta del vettore che rappresenta la componente s21;

l'intersezione tra le due rette individua il punto P'.
Analiticamente, le coordinate del polo sono P' = ( s11, s21).
L'antipolo viene utilizzato quando occorre individuare le direzioni perpendicolari rispetto alle direzioni principali, cosa che spesso occorre quando si analizzano i tensori di tensione.

Componenti del vettore associato ad una direzione

CoordMohr.png

Il tensore simmetrico piano LaTeX: \mathbf{S}, come ogni tensore, associa ad ogni direzione del piano n, individuata dai suoi coseni direttori α1n e α2n, un vettore sn secondo la legge di trasformazione dei tensori. Il cerchio di Mohr permette di costruire graficamente il vettore sn utilizzando la procedura che segue.
A partire dal polo P si traccia una retta inclinata rispetto all'asse orizzontale di un angolo tale che il suo coseno sia pari a α1n. Questa retta incontra il cerchio su un punto; se si collega il punto trovato con l'origine, il vettore che si ricava è l'immagine di sn, vettore associato alla direzione tracciata.
Scomponendo sn sugli assi coordinati n e t, si ottengono le componenti snn e snt, grazie alle quali è possibile tracciare sn direttamente nel sistema di assi coordinati ortogonali x10x2, dove sono riportate le componenti del tensore.

CostrVettTens.png

Tracciata la direzione sul piano x10x2, le componenti snn e snt giacciono la prima lungo la direzione stessa, e la seconda sulla perpendicolare ad essa. I versi sono stabiliti secondo la convenzione di Mohr:

  • se snn è positiva sul piano n0t, allora snn è uscente dalla direzione (cioè si allontana dall'origine degli assi); in caso contrario, snn è entrante nella direzione (cioè si rivolge verso l'origine degli assi);
  • se snt è positiva sul piano n0t, allora snt è orientata in modo da ruotare in senso orario intorno all'origine degli assi x10x2; in caso contrario, allora snt è orientata in modo da ruotare in senso antiorario intorno all'origine degli assi x10x2.

Una volta tracciati snn e snt sul sistema di assi x10x2, è possibile ottenere anche il vettore sn, che è la somma vettoriale delle due componenti.

Si noti che sn sul piano n0t e sn sul piano x10x2 sono orientati diversamente: il cerchio di Mohr infatti non dà alcuna informazione sull'incilinazione del vettore, ma solo sul valore delle sue componenti.

Autovalori e autovettori

DirezPrincPiano.png

Per definizione, gli autovalori di un tensore simmetrico LaTeX:  \mathbf{S} sono i moduli di quei vettori che hanno la proprietà di essere collineari alle direzioni ad essi associate dal tensore stesso.
Secondo la costruzione di Mohr, questa proprietà si verifica per quei vettori individuati dal cerchio che non hanno componente sull'asse t. Questa caratteristica si riscontra solo in due punti, e cioè nelle intersezioni del cerchio con l'asse n.

Conosciuti quindi centro e raggio del cerchio, gli autovalori sI e sII sono immediatamente determinati grazie alle relazioni:

LaTeX:  s_I = C + r e LaTeX:  s_{II} = C - r .

MohrDirPolo.png

Nota la posizione del polo P, gli autovettori delle due direzioni principali sono immediatamente determinati congiungendo il polo con i vertici dei vettori sI e sII.
Analiticamente è sufficiente determinare solo uno dei quattro coseni direttori che individuano le direzioni principali I e II, perché le direzioni sono mutuamente ortogonali, ed è quindi semplice calcolare i restanti tre valori partendo dal primo.
Scelto ad esempio l'angolo LaTeX:  \hat {\alpha}_I, la sua tangente è pari a:

LaTeX:  \tan \hat {\alpha}_{I1} = \frac{s_{12}} {s_I - s_{22}} = \frac{s_{12}} {C + r - s_{22}} =  \frac{2 s_{12}} { s_{11} - s_{22} + 2 r}

MohrDirAntip.png

Conosciuta la tangente dell'angolo, è poi possibile calcolarne il valore (estraendo l'arcotangente) e quindi il coseno direttore (calcolandone appunto il coseno). Per conoscere gli altri angoli, sussistono le relazioni:

LaTeX:  \hat {\alpha}_{I2} = 90^o - \hat {\alpha}_{I1}

LaTeX:  \hat {\alpha}_{II1} = 90^o + \hat {\alpha}_{I1}

LaTeX:  \hat {\alpha}_{II2} = \hat {\alpha}_{I1}

Quando occorre determinare le direzioni perpendicolari rispetto a quelle principali, invece di utilizzare il polo P del cerchio si impiega l'antipolo P'. La procedura è la medesima: dal punto P' si conducono due rette passanti per i vertici dei vettori sI e sII; in questo caso, le relazioni che legano le direzioni principali I e II alle omologhe antipolari I' e II' sono le seguenti:

DirezPrincConcio.png

LaTeX:  \hat {\alpha}_{I'1} = \hat {\alpha}_{II1}

LaTeX:  \hat {\alpha}_{I'2} = \hat {\alpha}_{II2}

LaTeX:  \hat {\alpha}_{II'1} = \hat {\alpha}_{I1}

LaTeX:  \hat {\alpha}_{II'2} = \hat {\alpha}_{I2}

Per inciso, la ricerca delle direzioni antipolari è particolarmente utile quando il tensore è rappresentativo di una caratteristica di un corpo piano (vedi figura sopra): queste infatti permettono di determinare immediatamente la giacitura delle facce di un elemento infinitesimo di materia sulle quali agiscono gli autovalori del tensore.

Voci correlate

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