Legge di trasformazione dei tensori
Da TecnoLogica.
Descrizione
La legge di trasformazione dei tensori è la relazione che consente di trovare le componenti di un tensore in un nuovo sistema di riferimento ruotato rispetto al primo.
Come è noto, la rotazione del nuovo sistema di riferimento può essere espressa grazie ai suoi coseni direttori, cioè alle componenti dei versori di ogni asse; se, ad esempio, n è uno degli assi del nuovo sistema ruotato, ed il suo versore, allora le componenti αn1, αn2 e αn3 del vettore rappresentano i coseni direttori di n, e ne individuano la sua posizione nello spazio.
Siano quindi x1, x2 ed x3 i tre assi coordinati di un sistema di riferimento nel quale è espresso un generico tensore, e siano invece x1', x2' e x3' gli assi di quello ruotato, nel quale vogliono calcolarsi le nuove componenti; saranno quindi noti i tre rispettivi versori , ed ed i nove coseni direttori:
La legge di trasformazione varia in funzione dell'ordine del tensore.
Vettori
Sia un vettore, o tensore del primo ordine, di componenti v1, v2, e v3, espresse nel sistema di riferimento 0x1x2x3. In un nuovo sistema di riferimento 0x1'x2'x3', la generica coordinata vn di è esprimibile tramite la relazione:
che rappresenta la legge di trasformazione dei vettori, dove i = {1, 2, 3} e n = {1', 2', 3'}.
Se, ad esempio, occorre determinare la componente v2' associata alla direzione x2', si ottiene:
Tensori doppi
Sia V un tensore doppio, o tensore del secondo ordine, di nove componenti:
espresse nel sistema di riferimento 0x1x2x3. In un nuovo sistema di riferimento 0x1'x2'x3', la generica coordinata vmn di V è esprimibile tramite la relazione:
che rappresenta la legge di trasformazione dei tensori di secondo ordine, dove i,j = {1, 2, 3} e m,n = {1', 2', 3'}.
Se, ad esempio, occorre determinare la componente v2'1' associata alla direzione x2' secondo l'orientamento di x1', si ottiene:
v2'1' =
v11 α12' α11' + v12 α12' α21'+ v13 α12' α31'+ v21 α22' α11' + v22 α22' α21'+ v23 α22' α31'+ v31 α32' α11 + v32 α22' α21' + v33 α32' α31'.
Tensori di ordine superiore al secondo
Sia un tensore di terzo ordine di ventisette componenti Tijk, espresse nel sistema di riferimento 0x1x2x3. In un nuovo sistema di riferimento 0x1'x2'x3', la generica coordinata Tlmm è esprimibile tramite la relazione:
che rappresenta la legge di trasformazione dei tensori di terzo ordine, dove i,j = {1, 2, 3} e m,n = {1', 2', 3'}.
Analogamente, se è un tensore del quarto ordine di ottantuno componenti Thijk, nel nuovo sistema di riferimento 0x1'x2'x3' la generica coordinata Tlmnp è esprimibile tramite la relazione:
che è la legge di trasformazione dei tensori di quarto ordine.
Per estensione è possibile scrivere la legge di trasformazione per un tensore di qualsiasi ordine, aumentando il numero dei pedici e di conseguenza quello dei coseni direttori impiegati nella formula.
Voci correlate
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