Legge di trasformazione dei tensori

Da TecnoLogica.

Descrizione

La legge di trasformazione dei tensori è la relazione che consente di trovare le componenti di un tensore in un nuovo sistema di riferimento ruotato rispetto al primo.
Come è noto, la rotazione del nuovo sistema di riferimento può essere espressa grazie ai suoi coseni direttori, cioè alle componenti dei versori di ogni asse; se, ad esempio, n è uno degli assi del nuovo sistema ruotato, ed Vett 01.gif il suo versore, allora le componenti αn1, αn2 e αn3 del vettore Vett 02.gif rappresentano i coseni direttori di n, e ne individuano la sua posizione nello spazio.

Siano quindi x1, x2 ed x3 i tre assi coordinati di un sistema di riferimento nel quale è espresso un generico tensore, e siano invece x1', x2' e x3' gli assi di quello ruotato, nel quale vogliono calcolarsi le nuove componenti; saranno quindi noti i tre rispettivi versori Ltt 01.gif, Ltt 02.gif ed Ltt 03.gif ed i nove coseni direttori:

Ltt 04.gif;

Ltt 05.gif;

Ltt 06.gif.

La legge di trasformazione varia in funzione dell'ordine del tensore.

Vettori

Sia Ltt 07.gif un vettore, o tensore del primo ordine, di componenti v1, v2, e v3, espresse nel sistema di riferimento 0x1x2x3. In un nuovo sistema di riferimento 0x1'x2'x3', la generica coordinata vn di Ltt 07.gif è esprimibile tramite la relazione:

Ltt 08.gif,

che rappresenta la legge di trasformazione dei vettori, dove i = {1, 2, 3} e n = {1', 2', 3'}.

Se, ad esempio, occorre determinare la componente v2' associata alla direzione x2', si ottiene:

Ltt 09.gif.

Tensori doppi

Sia V un tensore doppio, o tensore del secondo ordine, di nove componenti:

Tens 16.gif,

espresse nel sistema di riferimento 0x1x2x3. In un nuovo sistema di riferimento 0x1'x2'x3', la generica coordinata vmn di V è esprimibile tramite la relazione:

Ltt 11.gif,

che rappresenta la legge di trasformazione dei tensori di secondo ordine, dove i,j = {1, 2, 3} e m,n = {1', 2', 3'}.

Se, ad esempio, occorre determinare la componente v2'1' associata alla direzione x2' secondo l'orientamento di x1', si ottiene:

v2'1' =

v11 α12' α11' + v12 α12' α21'+ v13 α12' α31'+ v21 α22' α11' + v22 α22' α21'+ v23 α22' α31'+ v31 α32' α11 + v32 α22' α21' + v33 α32' α31'.

Tensori di ordine superiore al secondo

Sia Ltt 12.gif un tensore di terzo ordine di ventisette componenti Tijk, espresse nel sistema di riferimento 0x1x2x3. In un nuovo sistema di riferimento 0x1'x2'x3', la generica coordinata Tlmm è esprimibile tramite la relazione:

Ltt 13.gif,

che rappresenta la legge di trasformazione dei tensori di terzo ordine, dove i,j = {1, 2, 3} e m,n = {1', 2', 3'}.
Analogamente, se Ltt 12.gif è un tensore del quarto ordine di ottantuno componenti Thijk, nel nuovo sistema di riferimento 0x1'x2'x3' la generica coordinata Tlmnp è esprimibile tramite la relazione:

Ltt 14.gif,

che è la legge di trasformazione dei tensori di quarto ordine.
Per estensione è possibile scrivere la legge di trasformazione per un tensore di qualsiasi ordine, aumentando il numero dei pedici e di conseguenza quello dei coseni direttori impiegati nella formula.

Voci correlate

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