Teoremi di incompletezza di Gödel
Da TecnoLogica.
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*il modello di aritmetica contiene necessariamente delle proposizioni [[indecidibilità|indecidibili]], e cioè delle affermazioni sui numeri naturali che il sistema non è in grado di classificare né come vere (''teoremi'') né come falsi (''nonteoremi''); in altre parole non è in grado di dire se queste affermazioni sono vere o sono false; | *il modello di aritmetica contiene necessariamente delle proposizioni [[indecidibilità|indecidibili]], e cioè delle affermazioni sui numeri naturali che il sistema non è in grado di classificare né come vere (''teoremi'') né come falsi (''nonteoremi''); in altre parole non è in grado di dire se queste affermazioni sono vere o sono false; | ||
*se il modello è [[completezza (sistemica)|completo]], cioè tale che tutte le affermazioni vere dell'aritmetica sono dei teoremi del sistema, esso non è in grado di dimostrarlo; in altre parole, per poter dimostrare la completezza di un sistema occorre costruirne un altro (almeno complesso quanto il primo) che possa farlo. | *se il modello è [[completezza (sistemica)|completo]], cioè tale che tutte le affermazioni vere dell'aritmetica sono dei teoremi del sistema, esso non è in grado di dimostrarlo; in altre parole, per poter dimostrare la completezza di un sistema occorre costruirne un altro (almeno complesso quanto il primo) che possa farlo. | ||
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Versione delle 17:23, 9 ott 2011
Definizioni
Primo teorema di Gödel
Tutte le assiomatizzazioni coerenti dell'aritmetica contengono proposizioni indecidibili.
Secondo teorema di Gödel
Un sistema formale completo non può dimostrare la propria completezza.
Sinonimi
Teoremi limitativi della logica.
Descrizione
I due teoremi di incompletezza sono stati elaborati dal matematico austriaco Kurt Gödel allo scopo di dimostrare due caratteristiche di ogni sistema che sia sufficientemente potente da esprimere in sé i concetti di aritmetica, e cioè di quella parte della matematica formata dall'insieme dei numeri naturali.
Per sufficientemente potente si intende che il sistema in questione deve essere in grado di esprimere gli assiomi di Peano, che stanno alla base dell'aritmetica, e le relative regole di inferenza attraverso un linguaggio formale univoco: deve cioè essere un sistema formale.
Questi teoremi affermano che:
- il modello di aritmetica contiene necessariamente delle proposizioni indecidibili, e cioè delle affermazioni sui numeri naturali che il sistema non è in grado di classificare né come vere (teoremi) né come falsi (nonteoremi); in altre parole non è in grado di dire se queste affermazioni sono vere o sono false;
- se il modello è completo, cioè tale che tutte le affermazioni vere dell'aritmetica sono dei teoremi del sistema, esso non è in grado di dimostrarlo; in altre parole, per poter dimostrare la completezza di un sistema occorre costruirne un altro (almeno complesso quanto il primo) che possa farlo.
Voci correlate
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