Indecidibilità
Da TecnoLogica.
Impossibilità di stabilire all'interno di un modello formale la verità o la falsità di un enunciato, detto appunto indecidibile, espresso attraverso una stringa ben formata.
Descrizione
Un modello formale, in quanto basato su un sistema formale, è composto da teoremi, cioè da affermazioni che - una volta interpretate - diventano delle verità del mondo reale.
In un modello perfetto, a ogni affermazione vera nel mondo reale dovrebbe corrispondere un teorema del sistema, e a ogni affermazioni falsa dovrebbe corrispondere un non teorema.
In altri termini, la realtà può essere espressa come un insieme affermazioni che la descrivono; queste, opportunamente tradotte nel sistema, dovrebbero generare tutte le stringhe ben formate del modello. In termini formali varrebbe la corrispondenza:
Si suddivide poi l'insieme delle affermazioni in due sottoinsiemi comprendenti il primo le proposizioni vere e il secondo le proposizioni false; quello delle stringhe ben formate viene anch'esso diviso nel sottoinsieme dei teoremi (stringhe dimostrabili) e dei nonteoremi (stringhe che non derivano dagli assiomi): i sottoinsiemi dovrebbero corrispondersi a due a due nel seguente modo:
L'indecidibilità invece afferma che, se il modello è basato su un sistema formale sufficientemente potente, cioè che abbia il requisito di coerenza, allora è sempre possibile costruire una stringa ben formata indecidibile, cioè tale che non è possibile capire se essa è un teorema o un nonteorema. In questo caso, il sistema è incompleto.
L'indecidibilità dei sistemi formali è dimostrata nel primo dei due Teoremi di incompletezza di Gödel.
Un esempio di proposizione indecidibile famosa è il quinto postulato di Euclide che, per lungo tempo, i matematici hanno cercato di dimostrare - inutilmente - a partire dai primi quattro assiomi della geometria.
Voci correlate
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