Tensore

Da TecnoLogica.

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Definizioni

Ente atto a individuare le grandezze geometriche e fisiche che obbediscono, per cambiamento di coordinate, a opportune leggi di trasformazione^[1].

Descrizione

Con il termine tensore si individua genericamente una struttura algebrica lineare capace di descrivere matematicamente un fenomeno fisico che è invariabile rispetto al sistema di riferimento adottato.
In altri termini, i tensori sono in grado di fornire quel supporto matematico che permette di rappresentare i processi che avvengono nel mondo reale, che sono indifferenti rispetto al punto di osservazione.
I tensori rappresentano quindi una famiglia di strutture algebriche molto ampia, e per tale motivo vengono raggruppati in ordini o tipi; ad esempio, un comune vettore è in realtà un tensore di ordine uno, mentre un semplice scalare può essere interpretato come un tensore di ordine zero.

Anche se i tensori sono indipendenti dal sistema di riferimento adottato, e quindi dalla loro rappresentazione, è di gran lunga più semplice ed utile comprenderne le potenzialità partendo proprio dalla loro espressione in componenti; per questo motivo, come primo approccio, è conveniente considerare le entità tensoriali in uno spazio dotato di assi coordinati ortogonali.
In generale, i tensori possono essere costruiti a partire da un numero qualsiasi di dimensioni, e quindi sono applicabili ad un generico spazio $LaTeX: \mathbb{R}^n$ . Nelle applicazioni correnti della meccanica i tensori sono riferiti esclusivamente a spazi a tridimensionali; in numerosi casi è addirittura possibile costruire dei modelli nel piano, per cui i tensori si riducono ancora di dimensioni (e lo spazio di riferimento è $LaTeX: \mathbb{R}^2$ ). La possibilità di utilizzare tensori piani è senz'altro più comoda nella comprensione di queste complesse strutture algebriche, perché ne semplifica notevolmente la rappresentazione, e per questo sarà adottata nelle successive spiegazioni; ciò non toglie nulla alla generalità delle dimostrazioni, che possono essere estese a tre, quattro o più dimensioni.

Vettori

I vettori sono un particolare tipo di tensore di primo ordine. Secondo la comune concezione, i vettori sono associati alla loro rappresentazione, cioè sono concepiti come dei segmenti orientati, applicati in un punto (di solito coincidente con l'origine degli assi) ed espressi attraverso delle componenti, che sono due nel caso di vettori piani e tre nel caso di vettori spaziali.
Ogni volta che il sistema di assi viene ruotato, le componenti cambiano secondo la legge di trasformazione dei vettori, che può geometricamente essere interpretata come la proiezione del vettore sul nuovo sistema.
Secondo un approccio di tipo tensoriale il vettore può essere interpretato in modo diverso: esso è una funzione matematica lineare che associa ad ogni direzione del piano un numero scalare: se il vettore è denominato con $LaTeX: \bar { \mathbf{v}}$ , lo scalare associato alla direzione coordinata x₁ è indicato come $LaTeX: v_1$ , mentre quello associato a x₂ è indicato come $LaTeX: v_2$ .
Se si tracciano altre rette m, n, o, p…, il vettore associerà ad esse altri scalari: $LaTeX: v_m$ , $LaTeX: v_n$ , $LaTeX: v_o$ , $LaTeX: v_p$ , …; il modo con cui vengono stabiliti questi valori è appunto la legge di variazione dei vettori, e la loro interpretazione geometrica resta la proiezione del vettore sulla direzione. Dal punto di vista matematico però, al di là delle interpretazioni geometriche e delle rappresentazioni, un vettore è un ente algebrico che, ogni volta che si stabilisce una direzione nello spazio, associa ad essa uno scalare.
Assegnare una direzione significa assegnare il suo versore, e cioè il suo vettore unitario: questo è esprimibile attraverso una coppia (o terna, nel caso di uno spazio a tre dimensioni) di coseni direttori, e cioè con una coppia (o terna) di scalari.
Detta n la generica direzione, $LaTeX: \hat {\mathbf{e}}_n$ il suo versore, e $LaTeX: \alpha_{n1}$ e $LaTeX: \alpha_{n2}$ i coseni direttori, il valore $LaTeX: v_n$ che gli si associa è semplicemente determinabile grazie al prodotto scalare:

$LaTeX: v_n = \left| \bar{\mathbf{v}}_n \right| = \bar{\mathbf{v}} \times \hat{\mathbf{e}}_n$ ;

in termini matriciali, il prodotto è esprimibile come:

$LaTeX: v_n = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}^T \times \begin{bmatrix} \alpha_{n1} \\ \alpha_{n2} \end{bmatrix}$ ,

ed, infine, in termini di singola componente:

$LaTeX: v_n = v_i \alpha _i$ .

Un vettore quindi è una funzione algebrica lineare in grado di associare ad ogni direzione (e quindi ad ogni versore) uno scalare tramite il prodotto scalare.

Tensori doppi

I tensori doppi, o di secondo ordine, sono delle strutture algebriche più complesse dei vettori; per questo motivo, mentre i vettori possono godere di una doppia interpretazione (segmeti orientati oppure funzioni algebriche), questo tipo di tensori possono essere compresi solo dal punto di vista della funzione. Al contrario dei vettori, i tensori doppi non associano uno scalare ad una retta, ma un vettore vero e proprio, che non necessariamente deve essere allineato alla direzione di appartenenza.
Anche in questo caso, i vettori da associare alle diverse direzioni sono assegnati seguendo la relativa legge di trasformazione; in generale, ad ogni direzione viene assegnato un vettore diverso, sia in modulo che per l'orientamento.
Dato quindi un sistema di riferimento ed un tensore doppio $LaTeX: \mathbf{V}$ , esso associerà un vettore $LaTeX: \bar {\mathbf{v}}_j$ ad ogni asse coordinato x_j. Nel caso piano, all'asse x₁ sarà assegnato il vettore $LaTeX: \bar {\mathbf{v}}_1$ , ed all'asse x₂ il vettore $LaTeX: \bar {\mathbf{v}}_2$ , con $LaTeX: \bar {\mathbf{v}}_1$ ≠ $LaTeX: \bar {\mathbf{v}}_2$ .
Se poi si tracciano altre rette m, n, o, p…, il tensore associerà ad esse altri vettori: $LaTeX: \bar {\mathbf{v}}_m$ , $LaTeX: \bar {\mathbf{v}}_n$ , $LaTeX: \bar {\mathbf{v}}_o$ , $LaTeX: \bar {\mathbf{v}}_p$ , …, sempre utilizzando la legge di trasformazione.
Un tensore doppio quindi è un ente matematico che, ogni volta che si stabilisce una direzione nello spazio, associa ad essa un vettore.
Dato che ad ogni asse coordinato x_i viene associato un vettore $LaTeX: \bar {\mathbf{v}}_i$ , il tensore doppio può essere considerato una sorta di metavettore, cioè un vettore le cui componenti non sono scalari, ma vettori stessi. In tal caso può essere espresso in forma matriciale come:

$LaTeX: \mathbf{V} \begin{bmatrix} \bar {\mathbf{v}}_1 \\ \bar {\mathbf{v}}_2 \end{bmatrix}$ ;

assegnare un vettore nel piano (o nello spazio) equivale a indicare le sue due (o tre) componenti; un tensore può quindi essere rappresentato da una matrice che raccoglie le componenti dei diversi assi coordinati. In altre parole, un tensore doppio del piano $LaTeX: \mathbb{R}^2$ si indica con la notazione:

$LaTeX: \mathbf{V} = \begin{bmatrix} v_{11} & v_{21} \\ v_{12} & v_{22} \end{bmatrix}$ ,

che invece nello spazio diventa:

$LaTeX: \mathbf{V} = \begin{bmatrix} v_{11} & v_{21} & v_{31} \\ v_{12} & v_{22} & v_{32} \\ v_{13} & v_{23} & v_{33} \end{bmatrix}$ .

Nella prima colonna della matrice sono raccolte le due (o tre) componenti del vettore $LaTeX: \bar {\mathbf{v}}_1$ associato all'asse x₁: $LaTeX: v_{11}$ è la componente in direzione x₁, mentre $LaTeX: v_{12}$ è la componente in direzione x₂. Se il tensore è nello spazio $LaTeX: \mathbb{R}^3$ , allora $LaTeX: v_{13}$ è la componente in direzione x₃. La seconda colonna invece raggruppa le componenti del vettore associato a x_s, e così via.
In generale, $LaTeX: v_{ij}$ è la componente in direzione x_j del vettore $LaTeX: \bar {\mathbf{v}}_i$ associato all'asse x_i.

File:CompTensDoppio.png

Grazie alla notazione matriciale, è possibile sapere come calcolare facilmente il vettore da assegnare ad una generica direzione. Detta n la direzione, $LaTeX: \hat {\mathbf{e}}_n$ il suo versore, e $LaTeX: \alpha_{n1}$ e $LaTeX: \alpha_{n2}$ i coseni direttori, il vettore $LaTeX: \bar {\mathbf{v}}_n$ che gli si associa è semplicemente determinabile grazie al prodotto a destra di una matrice per un vettore:

$LaTeX: \bar {\mathbf{v}}_n = \mathbf{V} \times \hat {\mathbf{e}}_n$ ;

in termini matriciali, il prodotto è esprimibile come:

$LaTeX: v_n = \begin{bmatrix} v_{11} & v_{21} \\ v_{12} & v_{22} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} \alpha_{n1} \\ \alpha_{n2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_{11} \alpha _{n1} + v_{21} \alpha _{n2} \\ v_{12} \alpha _{n1} + v_{22} \alpha_{n2} \end{bmatrix}$ ,

ed, infine, in termini di singola componente:

$LaTeX: v_{nj} = v_{ij} \alpha _{ni}$ .

Un tensore doppio quindi è una funzione algebrica lineare in grado di associare ad ogni direzione (e quindi ad ogni versore) un altro vettore tramite il prodotto a destra.

L'interpretazione geometrica è semplice: tutte le componenti in direzione x₁ (cioè i vettori $LaTeX: \bar{\mathbf{v}}_{11}$ e $LaTeX: \bar{\mathbf{v}}_{21}$ ) vengono moltiplicati per i coseni direttori omologhi (rispettivamente $LaTeX: \alpha _{n1}$ e $LaTeX: \alpha _{n2}$ ); si ottengono così due vettori, sempre orientati orizzontalmente, pari a $LaTeX: \bar{\mathbf{v}}_{11} \alpha _{n1}$ e $LaTeX: \bar{\mathbf{v}}_{21} \alpha _{n2}$ , in modulo più piccoli di quelli di partenza^[2]; la loro somma restituisce il vettore $LaTeX: \bar{\mathbf{v}}_{n1}$ , componente orizzontale del vettore $LaTeX: \bar{\mathbf{v}}_{n}$ associato alla direzione n. Lo stesso discorso può essere ripetuto per la direzione x₂, ed esteso alla direzione x₃ nel caso di tensori doppi nello spazio $LaTeX: \mathbb{R}^3$ .

(da completare)

Voci correlate

Legge di trasformazione dei tensori

Note

↑ Voce tensore dell'Enciclopedia on line Treccani.
↑ Questo perché entrambi i vettori $LaTeX: \bar{\mathbf{v}}_{11}$ e $LaTeX: \bar{\mathbf{v}}_{21}$ vengono moltiplicati per i coseni direttori $LaTeX: \alpha _{n1}$ e $LaTeX: \alpha _{n2}$ ; i coseni direttori sono dei numeri compresi tra -1 e 1 (perché il coseno di qualsiasi angono è un valore compreso nell'intervallo [-1, 1]): ne consegue che il prodotto del vettore per uno scalare minore di uno sortisce un vettore di lunghezza minore di quello di partenza.

La consultazione di TecnoLogica è preordinata alla lettura delle avvertenze

[0] Voce tensore dell'Enciclopedia on line Treccani.

[1] Questo perché entrambi i vettori $LaTeX: \bar{\mathbf{v}}_{11}$ e $LaTeX: \bar{\mathbf{v}}_{21}$ vengono moltiplicati per i coseni direttori $LaTeX: \alpha _{n1}$ e $LaTeX: \alpha _{n2}$ ; i coseni direttori sono dei numeri compresi tra -1 e 1 (perché il coseno di qualsiasi angono è un valore compreso nell'intervallo [-1, 1]): ne consegue che il prodotto del vettore per uno scalare minore di uno sortisce un vettore di lunghezza minore di quello di partenza.

[1]

[2]

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