Cerchio di Mohr

Da TecnoLogica.

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Descrizione

È una costruzione geometrica che si costruisce partendo da un tensore di secondo ordine piano simmetrico grazie alla quale è possibile determinare per via grafica:

• le componenti del vettore che il tensore associa ad una generica direzione α_n;
• le direzioni principali del tensore, e i relativi autovalori.

Per fare ciò, occorre:

1. eseguire la costruzione del cerchio
2. individuare un punto notevole, detto polo.

Grazie al cerchio di mohr, i risultati grafici possono permettere anche la soluzione analitica dei problemi affrontati, tanto da essere spesso il metodo preferito rispetto alle tradizionali tecniche di determinazione tipiche dell'algebra tensoriale.

Costruzione

Sia dato il tensore simmetrico piano di coordinate:

,

la cui rappresentazione nel piano è riportata nel disegno a fianco.
Questo tensore dà origine ad un cerchio di Mohr, che può essere tracciato seguendo le indicazioni che seguono.
Si tracci un sistema di assi coordinati ortogonali n0t, con n asse orizzontale, e si riportino su di esso i valori delle componenti s₁₁ e s₂₂; se le componenti sono positive, allora saranno positive anche le loro rappresentazioni su n.
Ad esempio, se s₁₁ = 5 e s₂₂ = 2, i punti da inserire nel diagramma per costruire il cerchio di Mohr avranno rispettivamente coordinate (5, 0) e (2, 0). Allo stesso modo, se s₁₁ = -3 e s₂₂ = 1, allora i punti avranno coordinate (-3, 0) e (1, 0).
Si procede quindi a riportare i valori delle componenti miste s₁₂ e s₂₁ secondo la convenzione di Mohr. Se nella rappresentazione del tensore (disegno in alto) la componente s₁₂ ruota in senso antiorario intorno all'origine degli assi, allora deve essere riportata negativamente sul diagramma; in caso contrario, se s₁₂ ruota in senso orario intorno all'origine, allora è positiva. Stabilito il segno, il vettore deve essere disegnato verticalmente (parallelo quindi all'asse t) a partire dall'estremo del vettore s₁₁ precedentemente tracciato sull'asse n.
Il vettore s₂₁ deve invece essere disegnato in verticale, a partire dall'estremo del vettore s₂₂, ma dal lato opposto rispetto a s₁₂. Tenendo conto quindi della convenzione di Mohr sui segni, i punti estremi dei vettori s₂₁ e s₂₂ avranno coordinate (s₁₁, -s₁₂) e (s₂₂, s₂₁); unendo questi due punti è possibile trovare geometricamente il centro C del cerchio - intersezione del segmento con l'asse n - e il raggio - metà del medesimo segmento.
In termini algebrici, l'ascissa del cerhio è pari a:

,

mentre il raggio è:

.

Polo e antipolo

Il polo è un punto notevole che si trova sulla circonferenza; nella notazione utilizzata è contrassegnato con P.
La sua determinazione grafica è molto semplice:

1. si traccia una retta orizzontale passante per la punta del vettore che rappresenta la componente s₁₂;
2. si traccia una retta verticale passante per la punta del vettore che rappresenta la componente s₂₁;

l'intersezione tra le due rette individua il punto P.
Analiticamente, le coordinate del polo sono P = ( s₂₂, - s₁₂).

(da completare)

Autovalori e autovettori

Conosciuti centro e raggio, gli autovalori s_I e s_II sono immediatamente determinati grazie alle relazioni:

e .

(da completare)