Tensore di incongruenza
Da TecnoLogica.
Descrizione
Quando occorre descrivere matematicamente lo spostamento di un corpo rigido, è sufficiente assegnare una funzione vettoriale tale che le sue tre funzioni scalari , e siano continue e derivabili. Continuità e derivabilità costituiscono una condizione necessaria e sufficiente per fare in modo che sia uno spostamento fisicamente accettabile, senza compenetrazione o annichilimento[1].
Quando però si conosce solo il tensore di deformazione , anche se le sue nove componenti sono delle funzioni continue e derivabili, non è detto che diano luogo ad una deformazione congruente, cioè priva di compenetrazione e annichilimento; per esserne certi, occorrerebe riuscire a risalire alle funzioni spostamento tali che sussistano le nove relazioni di seguito scritte in forma compatta:
(1).
Anche se il problema è matematicamente definito, risolvere il sistema di nove equazioni differenziali nelle tre incognite , e è un compito decisamente arduo[2]; per tale motivo, si operano una serie di modifiche alla precedente relazione con l'unico scopo di trovare una nuova equazione nella quale siano scomparsi i termini .
Si procede quindi come segue: la prededente relazione viene scritta quattro volte utilizzando quattro pedici, , , e . Ogni relazione viene poi derivata due volte ottenendo:
,
,
,
.
Si sommano quindi le prime due equazioni, e si sottraggono le altre due, ottenendo:
;
è possibile notare che il secondo membro si annulla (infatti, ad esempio = 0), per cui la relazione diventa:
(2).
Questa relazione è proprio l'equazione cercata, perché se viene verificata allora il tensore è di fatto costituito da componenti ottenute utilizzando la relazione (1).
In realtà la (2) genera nove equazioni differenziali, che si riducono a sei per la simmetria di , che possono essere espresse in forma compatta come:
(3);
dove e sono due simboli di Ricci[3], ed è la componente di un tensore di incongruenza simmetrico.
Se il tensore è un tensore nullo, cioè tutte le sue componenti sono pari a zero, allora il tensore di deformazione è congruente. Al contrario, se almeno una delle sue componenti è diversa da zero, allora la deformazione è incongruente, cioè in almeno un punto del corpo soggetto allo spostamento si verifica compenetrazione o annichilimento della materia.
Scrivendo la relazione (3) in forma esplicita si ottengono le sei relazioni di congruenza:
.
Voci correlate
Note
- ↑ Per compenetrazione si intende quando due punti separati occupano lo stesso spazio a spostamento avvenuto, e ciò naturalmente non è una condizione accettabile. L'annichilimento avviene quando una regione del corpo soggetto allo spostamento si deforma a tal punto da ridurre a zero il proprio volume.
- ↑ Per inciso, le equazioni si ridurrebbero a sei vista la simmetria di , e cioè .
- ↑ Il simbolo di Ricci è un termine caratterizzato da tre pedici l, m ed n che assume un valore pari a:
- 0, se almeno due dei tre pedici sono uguali (esempio: = 0);
- 1, se i tre pedici sono diversi ed in permutazione pari (esempio: = 1);
- -1, se i tre pedici sono diversi ed in permutazione dispari (esempio: = -1).
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