Tensore di incongruenza

Da TecnoLogica.

Descrizione

Quando occorre descrivere matematicamente lo spostamento di un corpo rigido, è sufficiente assegnare una funzione vettoriale $LaTeX: \bar {u}$ tale che le sue tre funzioni scalari $LaTeX: u_1$ , $LaTeX: u_2$ e $LaTeX: u_3$ siano continue e derivabili. Continuità e derivabilità costituiscono una condizione necessaria e sufficiente per fare in modo che $LaTeX: \bar {u}$ sia uno spostamento fisicamente accettabile, senza compenetrazione o annichilimento^[1].
Quando però si conosce solo il tensore di deformazione $LaTeX: \mathbf{\epsilon}$ , anche se le sue nove componenti $LaTeX: \epsilon_{ij}$ sono delle funzioni continue e derivabili, non è detto che diano luogo ad una deformazione congruente, cioè priva di compenetrazione e annichilimento; per esserne certi, occorrerebe riuscire a risalire alle funzioni spostamento tali che sussistano le nove relazioni di seguito scritte in forma compatta:

$LaTeX: \epsilon_{ij} = \frac {u_{i,j} + u_{j,i}} {2}$ (1).

Anche se il problema è matematicamente definito, risolvere il sistema di nove equazioni differenziali nelle tre incognite $LaTeX: u_1$ , $LaTeX: u_2$ e $LaTeX: u_3$ è un compito decisamente arduo^[2]; per tale motivo, si operano una serie di modifiche alla precedente relazione con l'unico scopo di trovare una nuova equazione nella quale siano scomparsi i termini $LaTeX: u_j$ .
Si procede quindi come segue: la prededente relazione viene scritta quattro volte utilizzando quattro pedici, $LaTeX: i$ , $LaTeX: j$ , $LaTeX: h$ e $LaTeX: k$ . Ogni relazione viene poi derivata due volte ottenendo:

$LaTeX: \epsilon_{ij,hk} = \frac {u_{i,jhk} + u_{j,ihk}} {2}$ ,
$LaTeX: \epsilon_{hk,ij} = \frac {u_{h,kij} + u_{k,hij}} {2}$ ,
$LaTeX: \epsilon_{hj,ik} = \frac {u_{h,jik} + u_{j,hik}} {2}$ ,
$LaTeX: \epsilon_{ik,hj} = \frac {u_{i,khj} + u_{k,ihj}} {2}$ .

Si sommano quindi le prime due equazioni, e si sottraggono le altre due, ottenendo:

$LaTeX: \epsilon_{ij,hk} + \epsilon_{hk,ij} - \epsilon_{hj,ik} - \epsilon_{ik,hj} = \frac {1}{2} \left(u_{i,jhk} + u_{j,ihk} + u_{h,kij} + u_{k,hij} - u_{h,jik} - u_{j,hik} - u_{i,khj} + u_{k,ihj} \right)$ ;

è possibile notare che il secondo membro si annulla (infatti, ad esempio $LaTeX: u_{i,jhk} - u_{i,khj}$ = 0), per cui la relazione diventa:

$LaTeX: \epsilon_{ij,hk} + \epsilon_{hk,ij} - \epsilon_{hj,ik} - \epsilon_{ik,hj} = 0$ (2).

Questa relazione è proprio l'equazione cercata, perché se viene verificata allora il tensore $LaTeX: \mathbf{ \epsilon }$ è di fatto costituito da componenti $LaTeX: \epsilon_{ij}$ ottenute utilizzando la relazione (1).
In realtà la (2) genera nove equazioni differenziali, che si riducono a sei per la simmetria di $LaTeX: \mathbf{ \epsilon }$ , che possono essere espresse in forma compatta come:

$LaTeX: e_{kmn} e_{hij} \epsilon_{mi,nj} = R_{kh}$ (3);

dove $LaTeX: e_{lmn}$ e $LaTeX: e_{hij}$ sono due simboli di Ricci^[3], ed $LaTeX: R_{kh}$ è la componente di un tensore di incongruenza $LaTeX: \mathbf{ R }$ simmetrico.
Se il tensore $LaTeX: [ R ]$ è un tensore nullo, cioè tutte le sue componenti sono pari a zero, allora il tensore di deformazione $LaTeX: \mathbf{ \epsilon }$ è congruente. Al contrario, se almeno una delle sue componenti è diversa da zero, allora la deformazione $LaTeX: \mathbf{ \epsilon }$ è incongruente, cioè in almeno un punto del corpo soggetto allo spostamento si verifica compenetrazione o annichilimento della materia.
Scrivendo la relazione (3) in forma esplicita si ottengono le sei relazioni di congruenza:

$LaTeX: R_{11} = 0 \Rightarrow \epsilon_{22,33} + \epsilon_{33,22} - 2 \epsilon_{23,23} = 0$

$LaTeX: R_{22} = 0 \Rightarrow \epsilon_{11,33} + \epsilon_{33,11} - 2 \epsilon_{13,13}$

$LaTeX: R_{33} = 0 \Rightarrow \epsilon_{11,22} + \epsilon_{22,11} - 2 \epsilon_{12,12}$

$LaTeX: R_{12} = 0 \Rightarrow \epsilon_{33,12} = \left( - \epsilon_{21,3} + \epsilon_{31,2} + \epsilon_{23,1} \right) _{,3}$

$LaTeX: R_{13} = 0 \Rightarrow \epsilon_{22,13} = \left( - \epsilon_{13,2} + \epsilon_{23,1} + \epsilon_{12,3} \right) _{,2}$

$LaTeX: R_{23} = 0 \Rightarrow \epsilon_{11,23} = \left( - \epsilon_{23,1} + \epsilon_{13,2} + \epsilon_{12,3} \right) _{,1}$ .

Voci correlate

Note

↑ Per compenetrazione si intende quando due punti separati occupano lo stesso spazio a spostamento avvenuto, e ciò naturalmente non è una condizione accettabile. L'annichilimento avviene quando una regione del corpo soggetto allo spostamento si deforma a tal punto da ridurre a zero il proprio volume.
↑ Per inciso, le equazioni si ridurrebbero a sei vista la simmetria di $LaTeX: [ \epsilon ]$ , e cioè $LaTeX: \epsilon_{ij} = \epsilon_{ji}$ .
↑ Il simbolo di Ricci è un termine caratterizzato da tre pedici l, m ed n che assume un valore pari a:
- 0, se almeno due dei tre pedici sono uguali (esempio: $LaTeX: e_{1 2 1}$ = 0);
- 1, se i tre pedici sono diversi ed in permutazione pari (esempio: $LaTeX: e_{3 1 2}$ = 1);
- -1, se i tre pedici sono diversi ed in permutazione dispari (esempio: $LaTeX: e_{3 2 1}$ = -1).