Spazio vettoriale

Da TecnoLogica.

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Struttura algebrica costituita da un campo, il cui insieme di sostegno viene detto insieme degli scalari, un insieme di elementi detti vettori, e due operazioni dette prodotto per uno scalare e somma vettoriale.

Descrizione

Sia dato uno spazio piano nel quale 0 x₁ x₂ è un sistema di riferimento cartesiano, che per semplicità considereremo ortogonale: come è noto, ad ogni punto P corrisponde una ed una sola coppia di valori (x_P1, x_P2) e, viceversa, ad ogni coppia di numeri reali (x_P1, x_P2) corrisponde uno ed un solo punto P del piano.
In termini formali, il sistema di assi permette di costruire una relazione biunivoca tra i punti del piano e le coppie di numeri reali, e cioè:

$LaTeX: \mathcal {f} : \mathbb{S}^2 \leftrightarrow \mathbb{R}^2$ ,

dove per $LaTeX: \mathbb{S}^2$ si intende l'insieme dei punti del piano e per $LaTeX: \mathbb{R}^2$ il prodotto cartesiano dell'insieme dei numeri reali per sé stesso.
Allo stesso modo, ad ogni punto P è possibile far corrispondere un vettore applicato nell'origine 0, detto $LaTeX: \overrightarrow{0P}$ , e cioè un segmento orientato da 0 a P rappresentabile come una freccia avente punta in P.
È evidente che è possibile costruire una relazione biunivoca tra tutti i punti e tutti i vettori del piano perché ad ogni punto corrisponderà uno ed un solo vettore, e viceversa. In termini formali, sarà:

$LaTeX: \mathcal {g} : \mathbb{S}^2 \leftrightarrow \mathcal{V}_2$ ,

dove $LaTeX: \mathcal{V}_2$ rappresenta l'insieme di tutti i vettori piani.
Ne consegue quindi che, stabilito un sistema di riferimento, deve sussistere una relazione biunivoca tra tutte coppie di numeri reali e tutti i vettori piani applicati all'origine degli assi, cioè:

$LaTeX: \mathcal {h} : \mathbb{R}^2 \leftrightarrow \mathcal{V}_2$ .

Per stabilire tale legame, occorre introdurre tre concetti fondamentali per la definizione dello spazio vettoriale, ed in particolare:

introdurre la base vettoriale;
definire l'operazione di prodotto per uno scalare;
precisare l'operazione di somma vettoriale.

La base vettoriale è l'equivalente del sistema di assi cartesiani nella geometria analitica: si tratta di stabilire nel piano $LaTeX: \mathbb{S}^2$ una coppia di vettori (per comodità ortogonali tra loro) applicati in un punto origine 0 ed avente lunghezza unitaria, e che per tale ultimo motivo sono detti versori.
In generale quindi un versore è un vettore unitario, e si indica genericamente con $LaTeX: \hat{\mathbf{e}}_n$ ; una coppia di versori non paralleli aventi origine in comune si dice base vettoriale; infine, una coppia di versori aventi origine in comune e tra loro perpendicolari prende il nome di base ortonormale.
Le basi ortonormali, collineari agli assi x₁ e x₂ e con i quali condividono la medesima origine 0, vengono indicati come $LaTeX: \hat{\mathbf{e}}_1$ e $LaTeX: \hat{\mathbf{e}}_2$ .

Il prodotto per uno scalare è un'operazione tra un numero reale $LaTeX: r$ ed un vettore $LaTeX: \bar{\mathbf{v}}$ ; si indica con il simbolo $LaTeX: \cdot$ (esempio: $LaTeX: r \cdot \bar{\mathbf{v}}$ ) o omettendo il simbolo (esempio: $LaTeX: r \bar{\mathbf{v}}$ ), e si legge "per" (esempio: $LaTeX: r \cdot \bar{\mathbf{v}}$ si pronuncia erre per vi). Il risultato è un nuovo vettore $LaTeX: \bar{\mathbf{w}}$ avente:

la stessa direzione di $LaTeX: \bar{\mathbf{v}}$ ;
lo stesso verso di $LaTeX: \bar{\mathbf{v}}$ se $LaTeX: r$ è positivo, e verso opposto se $LaTeX: r$ è negativo;
lunghezza pari a $LaTeX: r$ volte la lunghezza di $LaTeX: \bar{\mathbf{v}}$ o per essere precisi, indicando con $LaTeX: \left | \bar{\mathbf{v}} \right |$ il modulo di $LaTeX: \bar{\mathbf{v}}$ (modulo equivale a lunghezza) e con $LaTeX: \left | \bar{\mathbf{w}} \right |$ il modulo di $LaTeX: \bar{\mathbf{w}}$ , allora $LaTeX: \left | \bar{\mathbf{w}} \right |= r \left | \bar{\mathbf{v}} \right |$ .

Assegnando quindi generica direzione $LaTeX: n$ ed un suo versore $LaTeX: \hat{\mathbf{e}}_n$ , è possibile ottenere tutti i vettori giacenti su quella direzione moltiplicando di volta in volta il versore per tutti i numeri reali; in altre parole, il generico vettore $LaTeX: \bar{\mathbf{v}}_n$ giacente sulla direzione $LaTeX: n$ avente lunghezza $LaTeX: v$ può essere ottenuto attraverso il prodotto per uno scalare $LaTeX: v \cdot \hat{\mathbf{e}}_n$ se ha lo spesso verso di $LaTeX: \hat{\mathbf{e}}_n$ , e come $LaTeX: - v \cdot \hat{\mathbf{e}}_n$ se ha verso opposto.
I numeri reali prendono il nome di scalari perché attraverso il prodotto per uno scalare sono in grado di aumentare e/o ridurre la lunghezza di un vettore, e quindi funzionano come fattore di scala. L'insieme dei numeri reali $LaTeX: \mathbb{R}$ prende quindi il nome di insieme degli scalari.