Vettore
Da TecnoLogica.
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Ente matematico dotato di una intensità, espressa attraverso un valore numerico, una direzione su cui agisce, detta anche retta d’azione, ed un verso di percorrenza.
Definizioni
Ente che permette di descrivere le grandezze che sono caratterizzate, oltre che da una intensità, cioè da un valore numerico, anche da un orientamento, cioè da una direzione e da un verso[1].
Descrizione
Il vettore è un ente geometrico dotato di intensità, direzione e verso, cioè oltre ad indicare una quantità (l'intensità) ne specifica anche la disposizione nello spazio (direzione e verso).
La sua rappresentazione più comune è quella di un segmento orientato, cioè dotato ad una estremità di una punta che ne indica il verso; la sua lunghezza è proporzionale all’intensità, mentre la retta su cui giace ne costituisce la direzione.
Sono numerose le grandezze che necessitano di un vettore per poter essere correttamente rappresentate, e che per tale motivo sono dette grandezze vettoriali: spostamento, velocità, accelerazione, rotazione, forza, pressione sono un esempio. Al contrario, quelle dotate di sola intensità sono dette grandezze scalari, come lunghezza, area, volume, tempo.
Tipi di vettori
Proprio in relazione alla natura della grandezza rappresentata, si distinguono:
- vettori applicati in un punto;
- cursori, cioè vettori applicati alla loro direzione (in grado cioè di scorrere lungo tale direzione);
- vettori liberi, cioè non applicati né in un punto né ad una retta.
Per esprimere un vettore applicato occorre specificare, oltre a intensità direzione e verso, anche le coordinate del punto di applicazione. In termini formali, se 
è un generico vettore libero, il vettore applicato in un punto P è espresso dalla coppia (, P). Allo stesso modo, un cursore è rappresentato dalla coppia formata dal vettore e dalla sua retta di applicazione: (,r).
Tipograficamente, un vettore si indica con una lettera minuscola in grassetto soprallineata: 
, 
, 
. Nel caso in cui occorra esprimere un vettore indicando i punti estremi, questi verranno riportati con una freccia che li sormonta, con la punta rivolta nello stesso verso del segmento orientato: 
indica un vettore che va dal punto 0 origine degli assi al punto P. La sua intensità, detta anche modulo, si indica interponendo il vettore tra due linee verticali: | |, e si legge modulo di a; nei casi in cui non si rischia alcuna ambiguità, può essere indicato utilizzando la medesima lettera minuscola corsiva: a.
I vettori di modulo unitario sono detti versori, e si indicano con la lettera “e” sormontata da un accento circonflesso: 
è il versore della direzione n.
Esiste poi il vettore di intensità pari a zero, detto vettore nullo, che si indica con la lettera greca omega: 
.
Spazio vettoriale
Dal punto di vista algebrico, i vettori sono elementi di una struttura detta spazio vettoriale costituita da:
- un insieme sostegno, detto insieme degli scalari;
- un’operazione tra vettori, detta somma vettoriale;
- un’operazione tra uno scalare e un vettore, detto prodotto per uno scalare;
- un insieme di n vettori linearmente indipendenti, detto base vettoriale.
Con tali componenti è possibile ottenere tutti gli infiniti vettori di uno spazio a n dimensioni, che si indica con 
.
Nella quasi totalità dei casi, per questioni di praticità si scelgono:
- come insieme sostegno, quello dei numeri reali ℝ;
- come base vettoriale, un insieme di versori mutuamente ortogonali e numerati in senso antiorario da 1 a n, applicati in un punto-origine detto 0.
In questo modo, è semplice stabilire una corrispondenza biunivoca tra tutti i punti dello spazio 𝕊 n a n dimensioni e tutti i vettori dello spazio vettoriale .
Grazie all’operazione di prodotto per uno scalare è possibile costruire, a partire dal versore êj della j-esima direzione, tutti i vettori giacenti sulla medesima direzione; detto ad esempio un qualunque vettore di direzione j e di modulo || = a, con a appartenente a ℝ, si potrà porre
= a • êj;
avrà verso concorde ad êj se a > 0, e discorde altrimenti.
Si è così stabilita una corrispondenza biunivoca tra tutti i punti della retta j ed i vettori giacenti su di essa.
Se i vettori sono liberi, tale procedimento consente di ottenere qualunque vettore parallelo a j; nel caso di cursori, si otterranno tutti i vettori giacenti su j; infine, nel caso di vettori applicati, si otterranno tutti i vettori su j aventi origine nel punto di applicazione del versore, che convenzionalmente viene indicato con 0.
Presa una seconda direzione i complanare e non parallela a j, il cui versore êi permette di costruire ogni vettore giacente su i, è possibile ottenere qualsiasi vettore del piano contenente le direzioni attraverso un’opportuna somma vettoriale + .
Analogamente a quanto già detto nel caso mono dimensionale, se i vettori sono liberi tale procedimento permette di ottenere tutti i vettori del piano; se si tratta di cursori, si otterranno tutti i vettori le cui rette di applicazione passeranno nel punto di intersezione tra i e j; nel caso di vettori applicati, allora si otterranno tutti i vettori applicati nel suddetto punto di intersezione.
(da completare)
Voci correlate
Note
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