Spazio vettoriale
Da TecnoLogica.
Descrizione
Sia dato uno spazio piano nel quale 0 x1 x2 è un sistema di riferimento cartesiano, che per semplicità considereremo ortogonale: come è noto, ad ogni punto P corrisponde una ed una sola coppia di valori (xP1, xP2) e, viceversa, ad ogni coppia di numeri reali (xP1, xP2) corrisponde uno ed un solo punto P del piano.
In termini formali, il sistema di assi permette di costruire una relazione biunivoca tra i punti del piano e le coppie di numeri reali, e cioè:
,
dove per si intende l'insieme dei punti del piano e per il prodotto cartesiano dell'insieme dei numeri reali per sé stesso.
Allo stesso modo, ad ogni punto P è possibile far corrispondere un vettore applicato nell'origine 0, detto , e cioè un segmento orientato da 0 a P rappresentabile come una freccia avente punta in P.
È evidente che è possibile costruire una relazione biunivoca tra tutti i punti e tutti i vettori del piano perché ad ogni punto corrisponderà uno ed un solo vettore, e viceversa. In termini formali, sarà:
,
dove rappresenta l'insieme di tutti i vettori piani.
Ne consegue quindi che, stabilito un sistema di riferimento, deve sussistere una relazione biunivoca tra tutte coppie di numeri reali e tutti i vettori piani applicati all'origine degli assi, cioè:
.
Per stabilire tale legame, occorre introdurre tre concetti fondamentali per la definizione dello spazio vettoriale, ed in particolare:
- introdurre la base vettoriale;
- definire l'operazione di prodotto per uno scalare;
- precisare l'operazione di somma vettoriale.
La base vettoriale è l'equivalente del sistema di assi cartesiani nella geometria analitica: si tratta di stabilire nel piano una coppia di vettori (per comodità ortogonali tra loro) applicati in un punto origine 0 ed avente lunghezza unitaria, e che per tale ultimo motivo sono detti versori.
In generale quindi un versore è un vettore unitario, e si indica genericamente con ; una coppia di versori non paralleli aventi origine in comune si dice base vettoriale; infine, una coppia di versori aventi origine in comune e tra loro perpendicolari prende il nome di base ortonormale.
Le basi ortonormali, collineari agli assi x1 e x2 e con i quali condividono la medesima origine 0, vengono indicati come e .
Il prodotto per uno scalare è un'operazione tra un numero reale ed un vettore ; si indica con il simbolo (esempio: ) o omettendo il simbolo (esempio: ), e si legge "per" (esempio: si pronuncia erre per vi). Il risultato è un nuovo vettore avente:
- la stessa direzione di ;
- lo stesso verso di se è positivo, e verso opposto se è negativo;
- lunghezza pari a volte la lunghezza di o per essere precisi, indicando con il modulo di (modulo equivale a lunghezza) e con il modulo di , allora .
(Da completare)
Voci correlate
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