Spazio vettoriale

Da TecnoLogica.

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	In termini formali, quindi, è possibile scrivere che:		In termini formali, quindi, è possibile scrivere che:
-	<math> \mathcal {f} : (a,b) \in \mathbb{S}^2 \leftrightarrow \bar{\mathbf{v}} \in \mathbb{R}^2 : \bar{\mathbf{v}} = a \hat{\mathbf{e}}_1 + b \hat{\mathbf{e}}_2</math>    .	+	<math> \mathcal {f} : (a,b) \in \mathbb{R}^2 \leftrightarrow \bar{\mathbf{v}} \in \mathcal{V}_2 : \bar{\mathbf{v}} = a \hat{\mathbf{e}}_1 + b \hat{\mathbf{e}}_2</math>    .
		+	Il processo inverso, quello che permette di partire da un vettore e di ricavare gli scalari, è invece detto '''decomposizione vettoriale''' o '''scomposizione vettoriale''', e necessita di introdurre una nuova operazione, che prende il nome di '''prodotto scalare'''.
-	(''Da completare'')	+	Il '''prodotto scalare''' è un'operazione tra due vettori <math>\bar{\mathbf{u}}</math> e <math>\bar{\mathbf{v}}</math> che restituisce uno scalare <math> a </math>; si indica con il simbolo <math> \cdot </math> (esempio: <math>\bar{\mathbf{u}} \cdot \bar{\mathbf{v}}</math>) o omettendo il simbolo (esempio: <math>\bar{\mathbf{u}} \bar{\mathbf{v}}</math>), e si legge "''scalare''" (esempio: <math>\bar{\mathbf{u}} \cdot \bar{\mathbf{v}}</math> si pronuncia ''u scalare vi''). Il risultato è uno scalare avente come valore il prodotto del modulo (della lunghezza) del primo vettore per il modulo del secondo per il coseno dell'angolo compreso tra i due.<br/>
		+	Una semplice verifica trigonometrica permette di verificare che il prodotto scalare può essere ottenuto, ad esempio, proiettando il primo vettore sulla direzione del secondo, poi se ne moltiplicano i moduli; oppure - il che è lo stesso - proiettando il secondo vettore sul primo, e poi moltiplicandone i moduli.<br/>
		+	Il prodotto scalare quindi permette di determinare la proiezione di un vettore <math>\bar{\mathbf{v}}</math> su una certa direzione <math>n</math>, semplicemente moltiplicando scalarmente il vettore per il versore della direzione <math>n</math>; se si utilizzano i versori <math>\hat{\mathbf{e}}_1 </math> e <math>\hat{\mathbf{e}}_2 </math>, si otterranno gli scalari <math>v_1</math> e <math>v_2</math> cercati. In termini formali:
		+
		+	<math> \mathcal {g} : \bar{\mathbf{v}} \in \mathcal{V}_2 \leftrightarrow (v_1, v_2) \in \mathbb{R}^2 : v_1 = \bar{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{e}}_1 , v_2 = \bar{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{e}}_2</math>    .
	==Voci correlate==		==Voci correlate==

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Versione delle 13:27, 16 giu 2017

Struttura algebrica costituita da un campo, il cui insieme di sostegno viene detto insieme degli scalari, un insieme di elementi detti vettori, e due operazioni dette prodotto per uno scalare e somma vettoriale.

Descrizione

Sia dato uno spazio piano nel quale 0 x₁ x₂ è un sistema di riferimento cartesiano, che per semplicità considereremo ortogonale: come è noto, ad ogni punto P corrisponde una ed una sola coppia di valori (x_P1, x_P2) e, viceversa, ad ogni coppia di numeri reali (x_P1, x_P2) corrisponde uno ed un solo punto P del piano.
In termini formali, il sistema di assi permette di costruire una relazione biunivoca tra i punti del piano e le coppie di numeri reali, e cioè:

,

dove per si intende l'insieme dei punti del piano e per il prodotto cartesiano dell'insieme dei numeri reali per sé stesso.
Allo stesso modo, ad ogni punto P è possibile far corrispondere un vettore applicato nell'origine 0, detto , e cioè un segmento orientato da 0 a P rappresentabile come una freccia avente punta in P.
È evidente che è possibile costruire una relazione biunivoca tra tutti i punti e tutti i vettori del piano perché ad ogni punto corrisponderà uno ed un solo vettore, e viceversa. In termini formali, sarà:

,

dove rappresenta l'insieme di tutti i vettori piani.
Ne consegue quindi che, stabilito un sistema di riferimento, deve sussistere una relazione biunivoca tra tutte coppie di numeri reali e tutti i vettori piani applicati all'origine degli assi, cioè:

.

Per stabilire tale legame, occorre introdurre tre concetti fondamentali per la definizione dello spazio vettoriale, ed in particolare:

1. introdurre la base vettoriale;
2. definire l'operazione di prodotto per uno scalare;
3. precisare l'operazione di somma vettoriale.

La base vettoriale è l'equivalente del sistema di assi cartesiani nella geometria analitica: si tratta di stabilire nel piano una coppia di vettori (per comodità ortogonali tra loro) applicati in un punto origine 0 ed avente lunghezza unitaria, e che per tale ultimo motivo sono detti versori.
In generale quindi un versore è un vettore unitario, e si indica genericamente con ; una coppia di versori non paralleli aventi origine in comune si dice base vettoriale; infine, una coppia di versori aventi origine in comune e tra loro perpendicolari prende il nome di base ortonormale.
Le basi ortonormali, collineari agli assi x₁ e x₂ e con i quali condividono la medesima origine 0, vengono indicati come e .

Il prodotto per uno scalare è un'operazione tra un numero reale ed un vettore ; si indica con il simbolo (esempio: ) o omettendo il simbolo (esempio: ), e si legge "per" (esempio: si pronuncia erre per vi). Il risultato è un nuovo vettore avente:

• la stessa direzione di ;
• lo stesso verso di se è positivo, e verso opposto se è negativo;
• lunghezza pari a volte la lunghezza di o per essere precisi, indicando con il modulo di (modulo equivale a lunghezza) e con il modulo di , allora .

Assegnando quindi generica direzione ed un suo versore , è possibile ottenere tutti i vettori giacenti su quella direzione moltiplicando di volta in volta il versore per tutti i numeri reali; in altre parole, il generico vettore giacente sulla direzione avente lunghezza può essere ottenuto attraverso il prodotto per uno scalare se ha lo spesso verso di , e come se ha verso opposto.
I numeri reali prendono il nome di scalari perché attraverso il prodotto per uno scalare sono in grado di aumentare e/o ridurre la lunghezza di un vettore, e quindi funzionano come fattore di scala. L'insieme dei numeri reali prende quindi il nome di insieme degli scalari.

La somma vettoriale è un'operazione tra due vettori e ; si indica con il simbolo (esempio: ) e si legge "più" (esempio: si pronuncia a più bi). Il risultato è un nuovo vettore determinato con la nota regola del parallelogramma: traslati i vettori addendi e nel medesimo punto di applicazione (a volte per comodità si può utilizzare l'origine degli assi), si costruisce un parallelogrammo avente per lati proprio i vettori "addendi" (gli altri due si determinano per parallelismo); il vettore che giace sulla diagonale che parte dal punto di applicazione è il vettore somma, che viene detto vettore risultante, o più brevemente la risultante della somma vettoriale.

Dati quindi due numeri scalari e , e due vettori e , si definisce composizione vettoriale l'insieme di operazioni:

che restituisce un nuovo vettore composto grazie alle operazioni di prodotto per uno scalare e somma vettoriale.
In particolare, se i vettori e non sono paralleli, è possibile dimostrare che scegliendo opportunamente gli scalari e è possibile ottenere qualsiasi vettore dello spazio .
Se quindi si sceglie una base unitaria ortonormale avente origine nel punto di un sistema di assi cartesiani ortogonali a cui i versori sono collineari ed equiversi (cioè aventi uguale direzione e medesimo verso degli assi), si può facilmente verificare che: dato un punto di coordinate , il vettore può essere ottenuto attraverso la composizione vettoriale a partire dalle basi come:

.

Ciò permette di rappresentare qualunque vettore piano attraverso una coppia di numeri reali, che prendono il nome di componenti del vettore.
In termini formali, quindi, è possibile scrivere che:

.

Il processo inverso, quello che permette di partire da un vettore e di ricavare gli scalari, è invece detto decomposizione vettoriale o scomposizione vettoriale, e necessita di introdurre una nuova operazione, che prende il nome di prodotto scalare.

Il prodotto scalare è un'operazione tra due vettori e che restituisce uno scalare ; si indica con il simbolo (esempio: ) o omettendo il simbolo (esempio: ), e si legge "scalare" (esempio: si pronuncia u scalare vi). Il risultato è uno scalare avente come valore il prodotto del modulo (della lunghezza) del primo vettore per il modulo del secondo per il coseno dell'angolo compreso tra i due.
Una semplice verifica trigonometrica permette di verificare che il prodotto scalare può essere ottenuto, ad esempio, proiettando il primo vettore sulla direzione del secondo, poi se ne moltiplicano i moduli; oppure - il che è lo stesso - proiettando il secondo vettore sul primo, e poi moltiplicandone i moduli.
Il prodotto scalare quindi permette di determinare la proiezione di un vettore su una certa direzione , semplicemente moltiplicando scalarmente il vettore per il versore della direzione ; se si utilizzano i versori e , si otterranno gli scalari e cercati. In termini formali:

.

Voci correlate

• Struttura algebrica
• Vettore
• Tensoree

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