Spazio vettoriale
Da TecnoLogica.
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La '''somma vettoriale''' è un'operazione tra due vettori <math> \bar{\mathbf{a}} </math> e <math> \bar{\mathbf{b}} </math>; si indica con il simbolo <math> + </math> (esempio: <math> \bar{\mathbf{a}} + \bar{\mathbf{b}} </math>) e si legge "''più''" (esempio: <math> \bar{\mathbf{a}} + \bar{\mathbf{b}} </math> si pronuncia ''a più bi''). Il risultato è un nuovo vettore determinato con la nota '''regola del parallelogramma''': traslati i vettori addendi <math> \bar{\mathbf{a}} </math> e <math> \bar{\mathbf{b}} </math> nel medesimo punto di applicazione (a volte per comodità si può utilizzare l'origine degli assi), si costruisce un parallelogrammo avente per lati proprio i vettori "addendi" (gli altri due si determinano per parallelismo); il vettore che giace sulla diagonale che parte dal punto di applicazione è il vettore somma, che viene detto '''vettore risultante''', o più brevemente la '''risultante''' della somma vettoriale. | La '''somma vettoriale''' è un'operazione tra due vettori <math> \bar{\mathbf{a}} </math> e <math> \bar{\mathbf{b}} </math>; si indica con il simbolo <math> + </math> (esempio: <math> \bar{\mathbf{a}} + \bar{\mathbf{b}} </math>) e si legge "''più''" (esempio: <math> \bar{\mathbf{a}} + \bar{\mathbf{b}} </math> si pronuncia ''a più bi''). Il risultato è un nuovo vettore determinato con la nota '''regola del parallelogramma''': traslati i vettori addendi <math> \bar{\mathbf{a}} </math> e <math> \bar{\mathbf{b}} </math> nel medesimo punto di applicazione (a volte per comodità si può utilizzare l'origine degli assi), si costruisce un parallelogrammo avente per lati proprio i vettori "addendi" (gli altri due si determinano per parallelismo); il vettore che giace sulla diagonale che parte dal punto di applicazione è il vettore somma, che viene detto '''vettore risultante''', o più brevemente la '''risultante''' della somma vettoriale. | ||
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+ | Dati quindi due numeri ''scalari'' <math>a</math> e <math>b</math>, e due vettori <math> \bar{\mathbf{v}}</math> e <math> \bar{\mathbf{u}}</math>, si definisce '''composizione vettoriale''' l'insieme di operazioni: | ||
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+ | <math>\bar{\mathbf{w}} = a \bar{\mathbf{v}} + b \bar{\mathbf{u}} </math> | ||
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+ | che restituisce un nuovo vettore<math> \bar{\mathbf{w}} </math> composto grazie alle operazioni di prodotto per uno scalare e somma vettoriale.<br/> | ||
+ | In particolare, se i vettori <math> \bar{\mathbf{v}}</math> e <math> \bar{\mathbf{u}}</math> non sono paralleli, è possibile dimostrare che scegliendo opportunamente gli scalari <math>a</math> e <math>b</math> è possibile ottenere qualsiasi vettore dello spazio <math>\mathcal{V}_2 </math>.<br/> | ||
+ | Se quindi si sceglie una base unitaria ortonormale <math>( \hat{\mathbf{e}}_1 , \hat{\mathbf{e}}_2 )</math> avente origine nel punto <math>0</math> di un sistema di assi cartesiani ortogonali a cui i versori sono collineari ed equiversi (cioè aventi uguale direzione e medesimo verso degli assi), si può facilmente verificare che: dato un punto <math>P</math> di coordinate <math>(p_1, p_2)</math>, il vettore <math> \overrightarrow{0P}</math> può essere ottenuto attraverso la ''composizione vettoriale'' a partire dalle basi come: | ||
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+ | <math> \overrightarrow{0P} = p_1 \hat{\mathbf{e}}_1 + p_2 \hat{\mathbf{e}}_2</math>. | ||
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+ | Ciò permette di rappresentare qualunque vettore piano attraverso una coppia di numeri reali, che prendono il nome di '''componenti''' del vettore. | ||
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Versione delle 13:21, 13 mag 2017
Struttura algebrica costituita da un campo, il cui insieme di sostegno viene detto insieme degli scalari, un insieme di elementi detti vettori, e due operazioni dette prodotto per uno scalare e somma vettoriale.Descrizione
Sia dato uno spazio piano nel quale 0 x1 x2 è un sistema di riferimento cartesiano, che per semplicità considereremo ortogonale: come è noto, ad ogni punto P corrisponde una ed una sola coppia di valori (xP1, xP2) e, viceversa, ad ogni coppia di numeri reali (xP1, xP2) corrisponde uno ed un solo punto P del piano.
In termini formali, il sistema di assi permette di costruire una relazione biunivoca tra i punti del piano e le coppie di numeri reali, e cioè:
,
dove per si intende l'insieme dei punti del piano e per il prodotto cartesiano dell'insieme dei numeri reali per sé stesso.
Allo stesso modo, ad ogni punto P è possibile far corrispondere un vettore applicato nell'origine 0, detto , e cioè un segmento orientato da 0 a P rappresentabile come una freccia avente punta in P.
È evidente che è possibile costruire una relazione biunivoca tra tutti i punti e tutti i vettori del piano perché ad ogni punto corrisponderà uno ed un solo vettore, e viceversa. In termini formali, sarà:
,
dove rappresenta l'insieme di tutti i vettori piani.
Ne consegue quindi che, stabilito un sistema di riferimento, deve sussistere una relazione biunivoca tra tutte coppie di numeri reali e tutti i vettori piani applicati all'origine degli assi, cioè:
.
Per stabilire tale legame, occorre introdurre tre concetti fondamentali per la definizione dello spazio vettoriale, ed in particolare:
- introdurre la base vettoriale;
- definire l'operazione di prodotto per uno scalare;
- precisare l'operazione di somma vettoriale.
La base vettoriale è l'equivalente del sistema di assi cartesiani nella geometria analitica: si tratta di stabilire nel piano una coppia di vettori (per comodità ortogonali tra loro) applicati in un punto origine 0 ed avente lunghezza unitaria, e che per tale ultimo motivo sono detti versori.
In generale quindi un versore è un vettore unitario, e si indica genericamente con ; una coppia di versori non paralleli aventi origine in comune si dice base vettoriale; infine, una coppia di versori aventi origine in comune e tra loro perpendicolari prende il nome di base ortonormale.
Le basi ortonormali, collineari agli assi x1 e x2 e con i quali condividono la medesima origine 0, vengono indicati come e .
Il prodotto per uno scalare è un'operazione tra un numero reale ed un vettore ; si indica con il simbolo (esempio: ) o omettendo il simbolo (esempio: ), e si legge "per" (esempio: si pronuncia erre per vi). Il risultato è un nuovo vettore avente:
- la stessa direzione di ;
- lo stesso verso di se è positivo, e verso opposto se è negativo;
- lunghezza pari a volte la lunghezza di o per essere precisi, indicando con il modulo di (modulo equivale a lunghezza) e con il modulo di , allora .
Assegnando quindi generica direzione ed un suo versore , è possibile ottenere tutti i vettori giacenti su quella direzione moltiplicando di volta in volta il versore per tutti i numeri reali; in altre parole, il generico vettore giacente sulla direzione avente lunghezza può essere ottenuto attraverso il prodotto per uno scalare se ha lo spesso verso di , e come se ha verso opposto.
I numeri reali prendono il nome di scalari perché attraverso il prodotto per uno scalare sono in grado di aumentare e/o ridurre la lunghezza di un vettore, e quindi funzionano come fattore di scala. L'insieme dei numeri reali prende quindi il nome di insieme degli scalari.
La somma vettoriale è un'operazione tra due vettori e ; si indica con il simbolo (esempio: ) e si legge "più" (esempio: si pronuncia a più bi). Il risultato è un nuovo vettore determinato con la nota regola del parallelogramma: traslati i vettori addendi e nel medesimo punto di applicazione (a volte per comodità si può utilizzare l'origine degli assi), si costruisce un parallelogrammo avente per lati proprio i vettori "addendi" (gli altri due si determinano per parallelismo); il vettore che giace sulla diagonale che parte dal punto di applicazione è il vettore somma, che viene detto vettore risultante, o più brevemente la risultante della somma vettoriale.
Dati quindi due numeri scalari e , e due vettori e , si definisce composizione vettoriale l'insieme di operazioni:
che restituisce un nuovo vettore composto grazie alle operazioni di prodotto per uno scalare e somma vettoriale.
In particolare, se i vettori e non sono paralleli, è possibile dimostrare che scegliendo opportunamente gli scalari e è possibile ottenere qualsiasi vettore dello spazio .
Se quindi si sceglie una base unitaria ortonormale avente origine nel punto di un sistema di assi cartesiani ortogonali a cui i versori sono collineari ed equiversi (cioè aventi uguale direzione e medesimo verso degli assi), si può facilmente verificare che: dato un punto di coordinate , il vettore può essere ottenuto attraverso la composizione vettoriale a partire dalle basi come:
.
Ciò permette di rappresentare qualunque vettore piano attraverso una coppia di numeri reali, che prendono il nome di componenti del vettore.
(Da completare)
Voci correlate
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