Spazio vettoriale
Da TecnoLogica.
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* lo stesso verso di <math> \bar{\mathbf{v}}</math> se <math>r</math> è positivo, e verso opposto se <math>r</math> è negativo; | * lo stesso verso di <math> \bar{\mathbf{v}}</math> se <math>r</math> è positivo, e verso opposto se <math>r</math> è negativo; | ||
* lunghezza pari a <math>r</math> volte la lunghezza di <math> \bar{\mathbf{v}}</math> o per essere precisi, indicando con <math>\left | \bar{\mathbf{v}} \right |</math> il '''modulo''' di <math> \bar{\mathbf{v}}</math> (''modulo'' equivale a ''lunghezza'') e con <math>\left | \bar{\mathbf{w}} \right |</math> il modulo di <math> \bar{\mathbf{w}}</math>, allora <math>\left | \bar{\mathbf{w}} \right |= r \left | \bar{\mathbf{v}} \right |</math>. | * lunghezza pari a <math>r</math> volte la lunghezza di <math> \bar{\mathbf{v}}</math> o per essere precisi, indicando con <math>\left | \bar{\mathbf{v}} \right |</math> il '''modulo''' di <math> \bar{\mathbf{v}}</math> (''modulo'' equivale a ''lunghezza'') e con <math>\left | \bar{\mathbf{w}} \right |</math> il modulo di <math> \bar{\mathbf{w}}</math>, allora <math>\left | \bar{\mathbf{w}} \right |= r \left | \bar{\mathbf{v}} \right |</math>. | ||
+ | Assegnando quindi generica direzione <math>n</math> ed un suo versore <math> \hat{\mathbf{e}}_n </math>, è possibile ottenere tutti i vettori giacenti su quella direzione moltiplicando di volta in volta il versore per tutti i numeri reali; in altre parole, il generico vettore <math> \bar{\mathbf{v}}_n</math> giacente sulla direzione <math>n</math> avente lunghezza <math>v</math> può essere ottenuto attraverso il prodotto per uno scalare <math>v \cdot \hat{\mathbf{e}}_n</math> se ha lo spesso verso di <math> \hat{\mathbf{e}}_n </math>, e come <math>- v \cdot \hat{\mathbf{e}}_n</math> se ha verso opposto.<br/> | ||
+ | I numeri reali prendono il nome di '''scalari''' perché attraverso il prodotto per uno scalare sono in grado di aumentare e/o ridurre la lunghezza di un vettore, e quindi funzionano come fattore di scala. L'insieme dei numeri reali <math> \mathbb{R} </math> prende quindi il nome di '''insieme degli scalari'''. | ||
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Versione delle 10:33, 11 mar 2017
Struttura algebrica costituita da un campo, il cui insieme di sostegno viene detto insieme degli scalari, un insieme di elementi detti vettori, e due operazioni dette prodotto per uno scalare e somma vettoriale.Descrizione
Sia dato uno spazio piano nel quale 0 x1 x2 è un sistema di riferimento cartesiano, che per semplicità considereremo ortogonale: come è noto, ad ogni punto P corrisponde una ed una sola coppia di valori (xP1, xP2) e, viceversa, ad ogni coppia di numeri reali (xP1, xP2) corrisponde uno ed un solo punto P del piano.
In termini formali, il sistema di assi permette di costruire una relazione biunivoca tra i punti del piano e le coppie di numeri reali, e cioè:
,
dove per si intende l'insieme dei punti del piano e per il prodotto cartesiano dell'insieme dei numeri reali per sé stesso.
Allo stesso modo, ad ogni punto P è possibile far corrispondere un vettore applicato nell'origine 0, detto , e cioè un segmento orientato da 0 a P rappresentabile come una freccia avente punta in P.
È evidente che è possibile costruire una relazione biunivoca tra tutti i punti e tutti i vettori del piano perché ad ogni punto corrisponderà uno ed un solo vettore, e viceversa. In termini formali, sarà:
,
dove rappresenta l'insieme di tutti i vettori piani.
Ne consegue quindi che, stabilito un sistema di riferimento, deve sussistere una relazione biunivoca tra tutte coppie di numeri reali e tutti i vettori piani applicati all'origine degli assi, cioè:
.
Per stabilire tale legame, occorre introdurre tre concetti fondamentali per la definizione dello spazio vettoriale, ed in particolare:
- introdurre la base vettoriale;
- definire l'operazione di prodotto per uno scalare;
- precisare l'operazione di somma vettoriale.
La base vettoriale è l'equivalente del sistema di assi cartesiani nella geometria analitica: si tratta di stabilire nel piano una coppia di vettori (per comodità ortogonali tra loro) applicati in un punto origine 0 ed avente lunghezza unitaria, e che per tale ultimo motivo sono detti versori.
In generale quindi un versore è un vettore unitario, e si indica genericamente con ; una coppia di versori non paralleli aventi origine in comune si dice base vettoriale; infine, una coppia di versori aventi origine in comune e tra loro perpendicolari prende il nome di base ortonormale.
Le basi ortonormali, collineari agli assi x1 e x2 e con i quali condividono la medesima origine 0, vengono indicati come e .
Il prodotto per uno scalare è un'operazione tra un numero reale ed un vettore ; si indica con il simbolo (esempio: ) o omettendo il simbolo (esempio: ), e si legge "per" (esempio: si pronuncia erre per vi). Il risultato è un nuovo vettore avente:
- la stessa direzione di ;
- lo stesso verso di se è positivo, e verso opposto se è negativo;
- lunghezza pari a volte la lunghezza di o per essere precisi, indicando con il modulo di (modulo equivale a lunghezza) e con il modulo di , allora .
Assegnando quindi generica direzione ed un suo versore , è possibile ottenere tutti i vettori giacenti su quella direzione moltiplicando di volta in volta il versore per tutti i numeri reali; in altre parole, il generico vettore giacente sulla direzione avente lunghezza può essere ottenuto attraverso il prodotto per uno scalare se ha lo spesso verso di , e come se ha verso opposto.
I numeri reali prendono il nome di scalari perché attraverso il prodotto per uno scalare sono in grado di aumentare e/o ridurre la lunghezza di un vettore, e quindi funzionano come fattore di scala. L'insieme dei numeri reali prende quindi il nome di insieme degli scalari.
(Da completare)
Voci correlate
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