Spazio vettoriale
Da TecnoLogica.
m |
|||
| Riga 18: | Riga 18: | ||
<math> \mathcal {h} : \mathbb{R}^2 \leftrightarrow \mathcal{V}_2 </math> . | <math> \mathcal {h} : \mathbb{R}^2 \leftrightarrow \mathcal{V}_2 </math> . | ||
| + | |||
| + | Per stabilire tale legame, occorre introdurre tre concetti fondamentali per la definizione dello '''spazio vettoriale''', ed in particolare: | ||
| + | # introdurre la '''base vettoriale'''; | ||
| + | # definire l'operazione di '''prodotto per uno scalare'''; | ||
| + | # precisare l'operazione di '''somma vettoriale'''. | ||
| + | |||
| + | La '''base vettoriale''' è l'equivalente del sistema di assi cartesiani nella geometria analitica: si tratta di stabilire nel piano <math> \mathbb{S}^2 </math> una coppia di vettori (per comodità ortogonali tra loro) applicati in un punto origine 0 ed avente lunghezza unitaria, e che per tale ultimo motivo sono detti '''versori'''.<br/> | ||
| + | In generale quindi un ''versore'' è un vettore unitario, e si indica genericamente con <math> \hat{\mathbf{e}}_n </math>; una coppia di versori non paralleli aventi origine in comune si dice ''base vettoriale''; infine, una coppia di versori aventi origine in comune e tra loro perpendicolari prende il nome di ''base ortonormale''.<br/> | ||
| + | Le basi ortonormali, collineari agli assi ''x''<sub>1</sub> e ''x''<sub>2</sub> e con i quali condividono la medesima origine 0, vengono indicati come <math> \hat{\mathbf{e}}_1 </math> e <math> \hat{\mathbf{e}}_2 </math>. | ||
(''Da completare'') | (''Da completare'') | ||
Versione delle 10:01, 7 mar 2017
Struttura algebrica costituita da un campo, il cui insieme di sostegno viene detto insieme degli scalari, un insieme di elementi detti vettori, e due operazioni dette prodotto per uno scalare e somma vettoriale.
Descrizione
Sia dato uno spazio piano nel quale 0 x1 x2 è un sistema di riferimento cartesiano, che per semplicità considereremo ortogonale: come è noto, ad ogni punto P corrisponde una ed una sola coppia di valori (xP1, xP2) e, viceversa, ad ogni coppia di numeri reali (xP1, xP2) corrisponde uno ed un solo punto P del piano.
In termini formali, il sistema di assi permette di costruire una relazione biunivoca tra i punti del piano e le coppie di numeri reali, e cioè:
,
dove per si intende l'insieme dei punti del piano e per
il prodotto cartesiano dell'insieme dei numeri reali per sé stesso.
Allo stesso modo, ad ogni punto P è possibile far corrispondere un vettore applicato nell'origine 0, detto , e cioè un segmento orientato da 0 a P rappresentabile come una freccia avente punta in P.
È evidente che è possibile costruire una relazione biunivoca tra tutti i punti e tutti i vettori del piano perché ad ogni punto corrisponderà uno ed un solo vettore, e viceversa. In termini formali, sarà:
,
dove rappresenta l'insieme di tutti i vettori piani.
Ne consegue quindi che, stabilito un sistema di riferimento, deve sussistere una relazione biunivoca tra tutte coppie di numeri reali e tutti i vettori piani applicati all'origine degli assi, cioè:
.
Per stabilire tale legame, occorre introdurre tre concetti fondamentali per la definizione dello spazio vettoriale, ed in particolare:
- introdurre la base vettoriale;
- definire l'operazione di prodotto per uno scalare;
- precisare l'operazione di somma vettoriale.
La base vettoriale è l'equivalente del sistema di assi cartesiani nella geometria analitica: si tratta di stabilire nel piano una coppia di vettori (per comodità ortogonali tra loro) applicati in un punto origine 0 ed avente lunghezza unitaria, e che per tale ultimo motivo sono detti versori.
In generale quindi un versore è un vettore unitario, e si indica genericamente con ; una coppia di versori non paralleli aventi origine in comune si dice base vettoriale; infine, una coppia di versori aventi origine in comune e tra loro perpendicolari prende il nome di base ortonormale.
Le basi ortonormali, collineari agli assi x1 e x2 e con i quali condividono la medesima origine 0, vengono indicati come e
.
(Da completare)
Voci correlate
|
