Proiezione (Geometria)
Da TecnoLogica.
Descrizione
Relazione che intercorre tra i punti di una figura contenuta in un piano e quelli dello spazio per mezzo di un terzo punto detto centro di proiezione. Il piano su cui giace la figura viene detto piano di proiezione.
Proiezione di un punto
Siano dati un piano α, un punto C ed un punto P tale che P≠C e C non appartenente ad α. Tracciata la retta che congiunge i due punti, essa incontra il piano α in un punto P'; allora si dirà che P' è la proiezione di P sul piano α dal centro C. Se non sussistono ambiguità su quale siano centro e piano, allora più semplicemente si dirà che che P' è la proiezione di P.
È frequente indicare con una lettera maiuscola latina il punto da proiettare, e con la stessa lettera munita di apice (') il punto proiettato. Nel caso in cui il punto venga proiettato su più piani, allora le differenti proiezioni vengono contrassegnate con un numero di apici crescente (', '', ''').
Proiezione di insiemi di punti
La proiezione di insiemi di punti, come figure geometriche piane o nello spazio, avviene proiettando i singoli punti secondo le regole descritte nel paragrafo precedente. È però facilmente intuibile che se la figura da proiettare è un segmento, anche la figura proiettata sul piano resterà un segmento: infatti tutti i punti delle due figure apparterranno al piano passante per il centro di proiezione e per i loro rispettivi vertici. Per tale motivo per ottenere la proiezione di un segmento è sufficiente proiettare i suoi due estremi, e poi congiungere le proiezioni.
Allo stesso modo, proiezioni di figure piane o solide delimitate da lati e spigoli possono essere ottenute proiettando soltanto i vertici, e collegando le proiezioni con segmenti.
Proiezioni ortogonali, oblique e prospettiche
Le proiezioni possono essere definite in funzione della posizione del centro rispetto al piano di proiezione.
In particolare, se il centro di proiezione è un punto proprio, e cioè un punto che si trova a distanza finita rispetto al piano, allora la proiezione è detta prospettica; in generale, la proiezione prospettica altera i rapporti di lunghezza tra i segmenti che compongono la figura e deforma gli angoli.
Nel caso in cui il centro di proiezione è un punto improprio, e cioè si trova ad una distanza infinita rispetto al piano, possono aversi due condizioni:
- il punto improprio è perpendicolare al piano di proiezione;
- il punto improprio è inclinato rispetto al piano di proiezione.
Nel primo caso la proiezione prende il nome di ortogonale: la proiezione non altera né il rapporto tra le lunghezze dei segmenti, né deforma gli angoli.
Nel secondo caso la proiezione prende il nome di obliqua o, più comunemente, assonometrica: essa non altera il rapporto tra le lunghezze, ma deforma gli angoli.
Voci correlate
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