Linea elastica flessionale

Da TecnoLogica.

Versione delle 14:11, 2 giu 2013, autore: Lucarck (Discussione | contributi)

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Descrizione

(da compilare)

Spostamenti infinitesimi

Nella pratica costruttiva, i materiali e gli elementi tecnici che caratterizzano le strutture permettono di introdurre delle semplificazioni significative, che consentono di risolvere il problema della ricerca della linea elastica con maggiore facilità. Queste semplificazioni sono:

spostamenti e rotazioni infinitesimi;
lunghezza dell'asta preponderante rispetto alle dimensioni della sezione trasversale;
bordo scarico (sostituire le caratteristiche di sollecitazione al carico vero e proprio, come avviene in un solido di de Saint Venant);
deformazione dovuta al momento flettente preponderante rispetto al taglio.

La linea elastica, nella sua formulazione generale in presenza di curvature elastiche ed anelastiche ed in tema di spostamenti infinitesimi, assume la forma:

$LaTeX: v \left( x \right) = v_0 - \varphi_0 x - \int \int \frac{1}{R_a} \, \mathbb{d}x - \frac{M_0}{2EJ} - \frac{T_0}{6EJ} + \int \int \int \int q \left( x \right) \left( x \right) \, \mathbb{d}x$ ,

dove $LaTeX: v_0$ , $LaTeX: \varphi_0$ , $LaTeX: M_0$ e $LaTeX: T_0$ sono i valori che assumono nell'origine l'abbassamento, la rotazione, il momento flettente (di solito, la caratteristica di sollecitazione $LaTeX: M_1$ ) e il taglio (di solito, caratteristica di sollecitazione $LaTeX: T_2$ ); $LaTeX: \frac{1}{R_a}$ è la curvatura anelastica, e $LaTeX: q \left( x \right)$ è la legge di variazione del carico.
Nel caso, molto frequente, di assenza di curvature anelastiche e di carichi costanti, la linea elastica si riduce a:

$LaTeX: v \left( x \right) = v_0 - \varphi_0 x - \frac{M_0 x^2}{2EJ} - \frac{T_0 x^3}{6EJ} + \frac{q x^4}{24EJ}$ .

(da completare)

Dimostrazione

Se gli spostamenti sono infinitesimi, l'equazione della linea elastica estensionale può essere dimostrata grazie all'impiego delle relazioni esistenti tra le entità della cinematica e della statica che caratterizzano un solido di de Saint Venant. Nel ricercare queste equazioni, assume una grande importanza il sistema di riferimento adottato, perché da esso dipende la positività o la negatività dei termini presenti nella linea elastica finale.
Per dimostrare le prime due relazioni, che correlano spostamento, rotazione e curvatura, è necessario specificare che la terna di assi adottata è di tipo destrogiro, cioè opposta a quelle che comunemente vengono impiegate nella fisica. In particolare, facendo coincidere l'asse degli spostamenti orizzontali $LaTeX: u$ con l'asse $LaTeX: x_3$ dell'asta^[1], e considerando positivo il verso antiorario per le rotazioni $LaTeX: \varphi$ , l'asse degli spostamenti verticali $LaTeX: v$ ha verso positivo in basso. Questo perché in generale quando le aste orizzontali (travi) vengono inflesse, i loro punti si spostano verso il basso, ed è più comodo indicare l'abbassamento come spostamento positivo.

La prima relazione lega l'abbassamento $LaTeX: v$ con la rotazione $LaTeX: \varphi$ . Preso sull'asse dell'asta indeformata un punto ad una ascissa $LaTeX: x_3$ , con abbassamento infinitesimo positivo $LaTeX: v$ , un secondo punto infinitesimamente prossimo, di ascissa $LaTeX: x_3 + dx_3$ , avrà un abbassamento anch'esso infinitesimo e positivo $LaTeX: v+dv$ . La distanza tra i due punti sarà quindi $LaTeX: dx_3$ , mentre la differenza tra gli abbassamenti sarà $LaTeX: dv$ .
Trovandosi il secondo punto in un intorno del primo, è possibile confondere in quell'intervallo la linea elastica con la retta tangente, che sarà ruotata rispetto all'asse indeformato di un angolo infinitesimo e orario (quindi negativo) $LaTeX: -\varphi$ ; è possibile quindi scrivere la relazione:

$LaTeX: - \varphi \simeq \tan \varphi = \frac{dv}{dx_3}$ ,

ovvero:

$LaTeX: \partial_3 v = - \varphi \Rightarrow \ v \left( x_3 \right) = v_0 - \int \varphi \left( x_3 \right) \,\mathbb{d}x_3$ .

Ciò significa, tra l'altro, che ad una rotazione positiva (antioraria) corrisponde uno spostamento negativo (verso l'alto) e, al contrario, ad un abbassamento corrisponde una rotazione negativa (oraria).

La seconda equazione può essere trovata assegnando una deformazione con rotazione positiva (antioraria) sulla quale viene individuato un punto di ascissa $LaTeX: x_3$ ed uno ad esso successivo, in un intorno infinitesimo, di ascissa $LaTeX: x_3 + d x_3$ . Siano $LaTeX: \varphi$ e $LaTeX: \varphi + d \varphi$ le rispettive rotazioni, e si traccino le tangenti a questi due punti; disegnate quindi le perpendicolari alle tangenti passanti per i punti sulla deformata, queste individueranno un punto $LaTeX: C$ che rappresenta il centro di curvatura della linea elastica riferito al primo dei due punti scelti. La sua distanza $LaTeX: R$ da questo punto è invece detta raggio di curvatura, mentre il suo inverso $LaTeX: 1/R$ si dice semplicemente curvatura. Seguendo semplici considerazioni aritmetiche, è immediato verificare come l'angolo che si forma nel centro $LaTeX: C$ è proprio pari all'incremento $LaTeX: d \varphi$ . Costruendo un triangolo rettangolo avente un vertice in $LaTeX: C$ e cateto maggiore $LaTeX: R$ , è possibile determinare la relazione che intercorre tra $LaTeX: d \varphi$ ed $LaTeX: R$ se si conosce la lunghezza del secondo cateto. Tale valore può essere determinato facilmente perché, visto che spostamenti e rotazioni della linea elastica sono infinitesimi, può essere approssimato a $LaTeX: d x_3$ . È quindi possibile calcolare il valore di $LaTeX: d \varphi$ come:

$LaTeX: d \varphi \simeq \tan \varphi = \frac{d x_3}{R}$ ,

e quindi:

$LaTeX: \partial_3 \varphi = \frac{1}{R} \Rightarrow \ \varphi \left( x_3 \right) = \varphi_0 + \int \frac{1}{R} \,\mathbb{d}x_3 \Rightarrow \ \left( x_3 \right) = v_0 - \varphi_0 x_3 - \int \int \frac{1}{R} \, \mathbb{d}x$ .

La curvatura di una trave a sua volta può essere espressa come la somma di una curvatura elastica dovuta alla presenza del momento flettente, e di una curvatura anelastica dovuta alla eventuale presenza di distorsioni termiche a farfalla; in termini formali si può scrivere quindi:

$LaTeX: \frac{1}{R} = \frac{1}{R_e} + \frac{1}{R_a}$ .

La curvatura elastica, come dimostrato nella flessione, è pari a:

$LaTeX: \frac{1}{R_e} = \frac{M}{EJ}$

dove $LaTeX: E$ è il modulo di Young e $LaTeX: J$ è l'inerzia relativa all'asse di sollecitazione^[2].

La legge di variazione del momento può essere facilmente ricavata imponendo, su un concio infinitesimo, gli equilibri alla traslazione verticale ed alla rotazione. Dal primo infatti si ottiene:

$LaTeX: R_2 = 0 \Rightarrow \ T - T - dT - q\left( x_3 \right)dx_3 = 0 \Rightarrow \ \frac{dT}{dx_3} = \partial_3 T = -q\left( x_3 \right)$

da cui si ottiene che:

$LaTeX: T \left( x_3 \right) = T_0 - \int q \left( x_3 \right) \,\mathbb{d}x_3$ .

Imponendo poi l'equilibrio alla rotazione nel baricentro della sezione posta a destra (dove agiscono le sollecitazioni incrementate), si ottiene:

$LaTeX: R_3 = 0 \Rightarrow \ -T dx -M + M + dM + q \left( x_3 \right)dx_3^2 \simeq \ - T dx + dM = 0 \Rightarrow \ \frac{dM}{dx_3} = \partial_3 M = T$ ,

dove $LaTeX: q \left( x_3 \right)dx_3^2 \simeq \ 0$ , e quindi:

$LaTeX: M \left( x_3 \right) = M_0 + \int T \left( x_3 \right) \,\mathbb{d}x_3 = M_0 + T_0 x - \int \int q \left( x_3 \right) \, \mathbb{d}x$ .

(da completare)

Voci correlate

Note

↑
Gli assi dell'asta sono generalmente disposti nel seguente modo: su ogni sezione si individua il baricentro, in cui si pone il centro del sistema di riferimento; perpendicolarmente alla sezione, ed uscente da essa, si pone l'asse $LaTeX: x_3$ .
Gli assi $LaTeX: x_1$ e $LaTeX: x_2$ sono invece principali di inerzia, con $LaTeX: x_2$ concorde, quando possibile, con la direzione della gravità (cioè, in parole povere, direzionato verso il basso), e $LaTeX: x_1$ di verso tale da ottenere una terna levogira.
Se la flessione è sollecitata dal momento $LaTeX: M_1$ , allora $LaTeX: x_2 = v$ e $LaTeX: x_1 = - \varphi$ .
↑ Se sulla sezione agisce $LaTeX: M_1$ , allora $LaTeX: \frac{1}{R_e} = \frac{M_1}{EJ_1}$ ; se invece è presente $LaTeX: M_2$ , allora $LaTeX: \frac{1}{R_e} = \frac{M_2}{EJ_2}$ .