Struttura algebrica

Da TecnoLogica.

Versione attuale delle 22:14, 11 nov 2023

Qualunque insieme A dotato di una o più operazioni

Descrizione

Sia f una funzione che a due valori x e y dell'insieme A associ un valore z = f (x, y) sempre appartenente ad A; la funzione f si dice legge di composizione interna o operazione binaria, o semplicemente operazione di A.
A ed f formano una struttura algebrica di cui A è detta sostegno.

Per convenzione, le funzioni operazione vengono designate con un simbolo (ad esempio "*"); il valore che si associa ad una coppia di elementi, che normalmente si indicherebbe con la notazione *(x, y), viene simboleggiato interponendo il simbolo ai suddetti elementi in questo modo: x * y.
Ad esempio, (ℕ, +) e (ℕ, •) sono due strutture algebriche.

Se l'operazione * di una struttura algebrica (A, *) gode delle proprietà:

1. di essere associativa, cioè (a * b) * c = a * (b * c);
2. di avere un elemento neutro, cioè un elemento e tale che e * a = a * e = a;
3. di poter determinare per ogni elemento a il suo inverso, cioè un elemento a' tale che a * a' = e;

allora la struttura algebrica è detta gruppo.
Ad esempio, (ℤ, +) e (ℚ, •) sono due gruppi.

Se (A, *) è un gruppo, e * gode della proprietà commutativa, cioè a * b = b * a, allora la struttura algebrica è detta gruppo commutativo o gruppo abeliano.
Ad esempio, (ℤ, +) e (ℚ, •) sono due gruppi commutativi.

Siano * e · due operazioni di A: (A, *, ·) è un anello se:

1. (A, *) è un gruppo commutativo;
2. l'operazione · è associativa;
3. se l'operazione* è distributiva rispetto a ·, e cioè: (a * b) · c = (a · c) * (b · c) e a · (b * c) = (a · c) · (a · c).

Se · è anche commutativa, (A, *, ·) è un anello commutativo; se · ha un elemento neutro, questo si dice identità e (A, *, ·) è un anello con identità.
Se (A, *, ·) è sia commutativo che con identità, allora è un anello commutativo con identità.

Se (A, *, ·) è un anello commutativo, con e elemento neutro di *; se ogni elemento di A ad esclusione di e è invertibile rispetto all'operazione ·, allora è un corpo.

Se (A, *, ·) è un corpo, e (A - {e}, ·) è un gruppo commutativo, allora è un campo.
Ad esempio, ( ℝ , +, • ) è un campo, ed è indicato come il campo dei numeri reali.

Voci correlate

• Spazio vettoriale