Sezione in calcestruzzo armato/Pressoflessione
Da TecnoLogica.
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| <math>x = \frac {f_{yd} \left( A_s - A'_s \right) + N_{ud}} {0.8 f_{cd} b} </math> | | <math>x = \frac {f_{yd} \left( A_s - A'_s \right) + N_{ud}} {0.8 f_{cd} b} </math> | ||
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|<math>\xi = \frac{x}{d} = \frac {f_{yd} \left( A_s - A'_s \right) + N_{ud}} {0.8 f_{cd} b d}</math> | |<math>\xi = \frac{x}{d} = \frac {f_{yd} \left( A_s - A'_s \right) + N_{ud}} {0.8 f_{cd} b d}</math> | ||
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|<math> x = 0.5 \left( -\alpha + \sqrt {\alpha ^2 + 4 \alpha'} \right) </math> | |<math> x = 0.5 \left( -\alpha + \sqrt {\alpha ^2 + 4 \alpha'} \right) </math> | ||
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|<math>M_u = M'_u + N_{ud} \left( d'' - \frac {h}{2} \right) </math> | |<math>M_u = M'_u + N_{ud} \left( d'' - \frac {h}{2} \right) </math> | ||
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|<math>M'_u = 0.8 f_{cd} b x \left( d - 0.4 x \right) + \alpha '_s f_{yd} A'_s \left(d - d' \right)</math> | |<math>M'_u = 0.8 f_{cd} b x \left( d - 0.4 x \right) + \alpha '_s f_{yd} A'_s \left(d - d' \right)</math> | ||
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|<math>\alpha _s = \epsilon _{cu} \frac {x - d} {x} \frac {E_s} {f_{yd}} = 0.0035 \frac {x - d} {x} \frac {20600} {f_{yd}} = \frac {72.1} {f_{yd}} \frac {x - d} {x} </math> | |<math>\alpha _s = \epsilon _{cu} \frac {x - d} {x} \frac {E_s} {f_{yd}} = 0.0035 \frac {x - d} {x} \frac {20600} {f_{yd}} = \frac {72.1} {f_{yd}} \frac {x - d} {x} </math> | ||
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Versione delle 17:03, 11 gen 2013
Descrizione
(da compilare)
Progetto
(da compilare)
Verifica di una sezione rettangolare
Sia data una sezione in calcestruzzo armato rettangolare di dimensioni x , con armatura superiore compressa di area , ed inferiore di area ; siano poi e le rispettive distanze dal bordo superiore, e la distanza di dal bordo inferiore. Siano infine, entrambi noti, e lo sforzo normale di compressione [kN] ed il momento flettente [kN m] tale da comprimere le fibre superiori della sezione.
La verifica a pressoflessione viene condotta nel seguente modo:
- scrivendo l'equazione di equilibrio alla traslazione, in cui compare lo sforzo normale , si stabilisce la distanza dell'asse neutro dal bordo superiore;
- scrivendo l'equilibrio alla rotazione si calcola il momento ultimo di rottura della sezione;
- si confrontano i momenti e : se risulta che ≤ , allora la sezione è verificata.
Si procede nel seguente modo: si scrive quindi l'equilibrio alla traslazione, che formalmente assume la forma:
,
avendo posto:
- la risultante delle tensioni di compressione del calcestruzzo armato;
- la risultante delle tensioni di compressione del ferro posto nella parte superiore;
- la risultante delle tensioni di trazione del ferro posto nella parte superiore.
Come già detto, è lo sforzo normale che agisce sulla sezione. L'equazione di equilibrio è stata scritta ipotizzando che il bordo superiore della sezione è compresso, e quello inferiore è teso; in altri termini si ipotizza che la rottura avvenga tra i campi 2 e 4.
Secondo questa ipotesi il calcestruzzo è parzializzato (l'asse neutro infatti al massimo tange la sezione sul bordo inferiore).
In particolare, se la rottura dovesse avvenire in campo 3, sia il calcestruzzo che il ferro si troverebbero in fase plastica. Se l'ipotesi fosse valida, l'equazione di equilibrio diventerebbe:
,
dove:
- ; il valore è ottenuto utilizzano lo stress block e un coefficiente di riempimento β = 0.8; è la resistenza di calcolo cilindrica a compressione del calcestruzzo espressa in kN/cm2;
- ; si considra il ferro compresso completamente plasticizzato;
- ; si considra il ferro teso completamente plasticizzato.
In tal caso la profondità dell'asse neutro sarebbe:
, |
e la profondità adimensionale dell'asse neutro ξ varrebbe:
. |
Ora sono logicamente possibili due alternative:
- la rottura avviene effettivamente nel campo 3, per cui sia il valore di x che quello di ξ sono corretti, e si può procedere a calcolare il momento ultimo ;
- la rottura avviene in altri campi, per cui occorre riscrivere l'equilibrio alla traslazione per trovare il valore corretto di x; solo dopo si potrà calcolare e completare la verifica.
Per capire il campo di rottura si utilizza il valore di ξ precedentemente trovato, che rappresenta l'indicatore grazie al quale si stabilisce il modo con cui la sezione giunge a collasso.
Rottura in campo 2
Se ξ ≤ ξ2, la rottura della sezione avviene in campo 2.
Il valore ξ2 è infatti la profondità adimensionale dell'asse neutro posto al limite tra i campi 2 e 3; tale valore è indipendente dall'armatura, e vale 7/27 = 0.259.
In campo 2 avviene che:
- l'armatura inferiore è plasticizzata, cioè εs = 100/00 ≥ εyd, dove εs è l'allungamento del ferro e εyd è la deformazione al limite elastico dell'acciaio;
- l'armatura superiore può essere sia in campo elastico che plastico;
- il calcestruzzo è parzializzato, e il suo allungamento massimo εcmax può essere sia in campo elastico che in quello plastico.
Per semplicità, si considererà solo il caso del calcestruzzo in campo plastico, perché molto più frequente. Questo permette di ridurre la verifica in campo 2 a soli due casi, e cioè:
- è in campo elastico, e occorre ricalcolare il valore di x (perché quello precedentemente ottenuto ipotizzava plasticizzata);
- è in campo elastico, e il valore di x è corretto, e si può procedere a calcolare il momento ultimo.
Per capire in quale dei due precedenti casi si trova la sezione, occorre calcolare ε's utilizzando la relazione:
;
questa rappresenta l'accorciamento dell'acciaio se la rottura avviene sul limite di separazione tra i campi 2 e 3, quando la deformazione massima del calcestruzzo è εcmax = εcu = 3.5 0/00 = 0.0035, cioè ha raggiunto il valore di deformazione limite a compressione. Il valore δ = d'/d dipende dalla geometria della sezione, mentre ξ è quanto ottenuto dalla relazione (2).
Se dovesse verificarsi che ε's < εyd, allora l'acciaio superiore è in fase elastica, e il valore di x ottenuto con la (1) non è corretto. Deve quindi riscriversi l'equazione di equilibrio alla traslazione come:
,
dove però occorre preventivamente calcolare α's come:
;
vista la linearità del diagramma ε delle deformazioni, e non considerando che deve verificarsi che εs ≤ εsu = 0.01[1], è possibile porre:
,
da cui si ricava:
.
Sostituendo α's nell'equazione di equilibrio e riarrangiandola algebricamente si ottiene:
,
la cui soluzione positiva è:
, |
con:
,
.
In entrambi i casi, sia se x è stato ottenuto con la (1) sia se è stata utilizzata la relazione (3), si calcola il momento ultimo rispetto al baricentro geometrico della sezione[2], e cioè pari a:
, |
dove:
, |
avendo posto α's pari a 1 se x è stato ottenuto con la (1), e pari a 72.1 (x-d')/(fyd x) se x è stato ottenuto con la (3).
La sezione risulta quindi verificata se ≤ .
Rottura in campo 3
Se ξ2 ≤ ξ ≤ ξ3, la rottura della sezione avviene in campo 3.
In questo caso, il valore ξ3 dipende dal tipo di acciaio utilizzato, e vale:
- 0.688 per acciaio tipo FeB38K;
- 0.658 per acciaio tipo FeB44K.
Se la rottura avviene in campo 3, il valore di x trovato con la (1) è corretto; per tale motivo il momento ultimo può essere calcolato, come in campo 2, con la relazione (4), avendo valutato utilizzando la relazione (5) con α's pari a 1.
La sezione risulta quindi verificata se ≤ .
Rottura in campo 4
Se ξ3 ≤ ξ ≤ 1, la rottura della sezione avviene in campo 4.
In questo caso, il valore ξ3 dipende dal tipo di acciaio utilizzato, e vale:
- 0.688 per acciaio tipo FeB38K;
- 0.658 per acciaio tipo FeB44K.
Quando ciò accade, l'armatura inferiore è tesa e l'acciaio è in campo elastico, e quindi εs < εyd.
In teoria, l'armatura superiore compressa potrebbe essere tanto in campo elastico quanto in campo plastico. Per essere in campo elastico, l'armatura dovrebbe essere abbastanza lontana dal bordo superiore; sfruttando la linearità del diagramma di ε, dovrebbe infatti verificarsi che d' > 3/7 x: questa condizione è però veramente molto remota. Con grande probabilità quindi il ferro compresso è plasticizzato, e l'equazione di equilibrio alla traslazione diventa:
,
dove però occorre preventivamente calcolare αs come:
;
vista la linearità del diagramma ε delle deformazioni, è possibile porre:
,
da cui si ricava:
. |
Sostituendo αs nell'equazione di equilibrio e riarrangiandola algebricamente si ottiene:
,
la cui soluzione positiva è analoga alla (3), dove però:
,
.
Le relazioni (4) e (5) consentono di calcolare il momento ultimo .
La sezione risulta quindi verificata se ≤ .
Rottura in campo 5
Se 1 ≤ ξ ≤ λ' la rottura della sezione avviene in campo 5.
Il valore λ' = h/d. In altre parole, per ξ = λ' l'asse neutro tocca il bordo inferiore della sezione.
Nel campo 5 entrambe le armature sono compresse; come in campo 4, anche qui è plausibile considerare che l'armatura superiore sia in fase plastica (per non esserlo, dovrebbe essere d' > 3/7 x) mentre certamente quella inferiore è in campo elastico.
L'equazione alla traslazione diventa:
,
dove αs si calcola utilizzando la relazione (6).
Sostituendo αs nell'equazione di equilibrio e riarrangiandola algebricamente si ottiene:
,
la cui soluzione positiva è analoga alla (3), dove però:
,
.
Il momento ultimo si può calcolare direttamente utilizzando la relazione:
.
La sezione risulta quindi verificata se ≤ .
Rottura in campo
Se ξ ≥ λ' la rottura della sezione avviene in campo 6.
L'asse neutro è esterno alla sezione, che risulta tutta compressa.
In campo 6, la deformazione masssima del calcestruzzo εcmax varia da un massimo di εcu = 3.5 0/00 = 0.0035 (quando x = h, cioè l'asse neutro tange il bordo inferiore della sezione) ad un minimo di εc1 = 2 0/00 = 0.002 (quando x è all'infinito, e la sezione è soggetta esclusivamente a sforzo normale). Il calcestruzzo non è parzializzato, cioè tutta la superficie della sezione reagisce a compressione. Il diagramma σ delle tensioni è del tipo "parabola-rettangolo"; dato però che l'asse neutro è esterno alla sezione, il ramo parabolico progressivamente scompare mano a mano che l'asse neutro si allontana, fino a scomparire completamente nel caso limite di asse all'infinito. Questo significa che il coefficiente di riempimento β varia da un minimo di 0.8 (limite tra i campi 4 e 5) ad un massimo di 1.0.
Per evitare calcoli complessi, il campo 6 può essere diviso in tre sottocampi, caratterizzati da diversi valori di β e di αs (infatti anche l'armatura inferiore, inizialmente in campo elastico, evolve verso la fase plastica all'allontanarsi di x), e cioè:
- primo sottocampo: β = 0.8 e εs ≤ εyd;
- secondo sottocampo: β = 1.0 e εs ≤ εyd;
- terzo sottocampo: β = 1.0 e εs > εyd.
(da completare)
Voci correlate
Note
- ↑ Ciò equivale a considerare che l'acciaio abbia una duttilità infinita.
- ↑ Infatti, quando si risolve il telaio per determinare le sollecitazioni nelle aste (in questo caso sono lo sforzo normale e ) le armature non sono ancora note, e sia il baricentro che l'inerzia sono quelle riferite alla geometria della sezione; per questo motivo, gli quilibiri alla traslazione ed alla rotazione devono essere calcolati rispetto al baricentro geometrico, considerando quindi lo sforzo normale agente in questo punto, e non nel baricentro delle masse.
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