Linea elastica flessionale

Da TecnoLogica.

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Descrizione

(da compilare)

Spostamenti infinitesimi

La linea elastica, nella sua formulazione generale in presenza di curvature elastiche ed anelastiche ed in tema di spostamenti infinitesimi, assume la forma:

$LaTeX: v \left( x \right) = v_0 - \varphi_0 x - \int \int \frac{1}{R_a} \, \mathbb{d}x - \frac{M_0}{2EJ} - \frac{T_0}{6EJ} + \int \int \int \int q \left( x \right) \left( x \right) \, \mathbb{d}x$ ,

dove $LaTeX: v_0$ , $LaTeX: \varphi_0$ , $LaTeX: M_0$ e $LaTeX: T_0$ sono i valori che assumono nell'origine l'abbassamento, la rotazione, il momento flettente (caratteristica di sollecitazione) e il taglio (caratteristica di sollecitazione); $LaTeX: \frac{1}{R_a}$ è la curvatura anelastica, e $LaTeX: q \left( x \right)$ è la legge di variazione del carico.
Nel caso, molto frequente, di assenza di curvature anelastiche e di carichi costanti, la linea elastica si riduce a:

$LaTeX: v \left( x \right) = v_0 - \varphi_0 x - \frac{M_0}{2EJ} - \frac{T_0}{6EJ} + \frac{q}{24EJ}$ .

(da completare)

Dimostrazione

Se gli spostamenti sono infinitesimi, l'equazione della linea elastica estensionale può essere dimostrata grazie all'impiego delle relazioni esistenti tra le entità della cinematica e della statica che caratterizzano un solido di de Saint Venant. Nel ricercare queste equazioni, assume una grande importanza il sistema di riferimento adottato, perché da esso dipende la positività o la negatività dei termini presenti nella linea elastica finale.
Per dimostrare le prime tre relazioni, che correlano spostamento, rotazione e curvatura, è necessario specificare che la terna di assi adottata è di tipo destrogiro, cioè opposta a quelle che comunemente vengono impiegate nella fisica. In particolare, facendo coincidere l'asse degli spostamenti orizzontali $LaTeX: u$ con l'asse $LaTeX: x_3$ dell'asta, e considerando positivo il verso antiorario per le rotazioni $LaTeX: \varphi$ , l'asse degli spostamenti verticali $LaTeX: v$ ha verso positivo in basso. Questo perché in generale quando le aste orizzontali (travi) vengono inflesse, i loro punti si spostano verso il basso, ed è più comodo indicare l'abbassamento come spostamento positivo.

La prima relazione lega l'abbassamento $LaTeX: v$ con la rotazione $LaTeX: \varphi$ . Preso sull'asse dell'asta indeformata un punto ad una ascissa $LaTeX: x_3$ , con abbassamento infinitesimo positivo $LaTeX: v$ , un secondo punto infinitesimamente prossimo, di ascissa $LaTeX: x_3 + dx_3$ , avrà un abbassamento anch'esso infinitesimo e positivo $LaTeX: v+dv$ . La distanza tra i due punti sarà quindi $LaTeX: dx_3$ , mentre la differenza tra gli abbassamenti sarà $LaTeX: dv$ .
Trovandosi il secondo punto in un intorno del primo, è possibile confondere in quell'intervallo la linea elastica con la retta tangente, che sarà ruotata rispetto all'asse indeformato di un angolo infinitesimo e orario (quindi negativo) $LaTeX: -\varphi$ ; è possibile quindi scrivere la relazione: