Linea elastica flessionale
Da TecnoLogica.
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Se gli spostamenti sono infinitesimi, l'equazione della linea elastica estensionale può essere dimostrata grazie all'impiego delle relazioni esistenti tra le entità della cinematica e della statica che caratterizzano un [[solido di de Saint Venant]]. Nel ricercare queste equazioni, assume una grande importanza il sistema di riferimento adottato, perché da esso dipende la positività o la negatività dei termini presenti nella linea elastica finale.<br/> | Se gli spostamenti sono infinitesimi, l'equazione della linea elastica estensionale può essere dimostrata grazie all'impiego delle relazioni esistenti tra le entità della cinematica e della statica che caratterizzano un [[solido di de Saint Venant]]. Nel ricercare queste equazioni, assume una grande importanza il sistema di riferimento adottato, perché da esso dipende la positività o la negatività dei termini presenti nella linea elastica finale.<br/> | ||
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Per dimostrare le prime tre relazioni, che correlano spostamento, rotazione e curvatura, è necessario specificare che la terna di assi adottata è di tipo destrogiro, cioè opposta a quelle che comunemente vengono impiegate nella fisica. In particolare, facendo coincidere l'asse degli spostamenti orizzontali <math>u</math> con l'asse <math>x_3</math> dell'asta, e considerando positivo il verso antiorario per le rotazioni <math>\varphi</math>, l'asse degli spostamenti verticali <math>v</math> ha verso positivo in basso. Questo perché in generale quando le aste orizzontali ([[trave|travi]]) vengono inflesse, i loro punti si spostano verso il basso, ed è più comodo indicare l'abbassamento come spostamento positivo. | Per dimostrare le prime tre relazioni, che correlano spostamento, rotazione e curvatura, è necessario specificare che la terna di assi adottata è di tipo destrogiro, cioè opposta a quelle che comunemente vengono impiegate nella fisica. In particolare, facendo coincidere l'asse degli spostamenti orizzontali <math>u</math> con l'asse <math>x_3</math> dell'asta, e considerando positivo il verso antiorario per le rotazioni <math>\varphi</math>, l'asse degli spostamenti verticali <math>v</math> ha verso positivo in basso. Questo perché in generale quando le aste orizzontali ([[trave|travi]]) vengono inflesse, i loro punti si spostano verso il basso, ed è più comodo indicare l'abbassamento come spostamento positivo. | ||
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+ | La prima relazione lega l'abbassamento <math>v</math> con la rotazione <math>\varphi</math>. Preso sull'asse dell'asta indeformata un punto ad una ascissa <math>x_3</math>, con abbassamento infinitesimo positivo <math>v</math>, un secondo punto infinitesimamente prossimo, di ascissa <math>x_3 + dx_3</math>, avrà un abbassamento anch'esso infinitesimo e positivo <math>v+dv</math>. La distanza tra i due punti sarà quindi <math>dx_3</math>, mentre la differenza tra gli abbassamenti sarà <math>dv</math>.<br/> | ||
+ | Trovandosi il secondo punto in un intorno del primo, è possibile confondere in quell'intervallo la linea elastica con la retta tangente, che sarà ruotata rispetto all'asse indeformato di un angolo infinitesimo e orario (quindi negativo) <math>-\varphi</math>; è possibile quindi scrivere la relazione: | ||
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+ | <math>- \varphi \simeq \tan \varphi = \frac{dv}{dx_3}</math>, | ||
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+ | <math> \partial_3 v = - \varphi \Rightarrow \ v \left( x_3 \right) = v_0 - \int \varphi \left( x_3 \right) \,\mathbb{d}x_3 </math>, | ||
Versione delle 18:21, 25 mag 2013
Descrizione
(da compilare)
Spostamenti infinitesimi
La linea elastica, nella sua formulazione generale in presenza di curvature elastiche ed anelastiche ed in tema di spostamenti infinitesimi, assume la forma:
,
dove , , e sono i valori che assumono nell'origine l'abbassamento, la rotazione, il momento flettente (caratteristica di sollecitazione) e il taglio (caratteristica di sollecitazione); è la curvatura anelastica, e è la legge di variazione del carico.
Nel caso, molto frequente, di assenza di curvature anelastiche e di carichi costanti, la linea elastica si riduce a:
.
(da completare)
Dimostrazione
Se gli spostamenti sono infinitesimi, l'equazione della linea elastica estensionale può essere dimostrata grazie all'impiego delle relazioni esistenti tra le entità della cinematica e della statica che caratterizzano un solido di de Saint Venant. Nel ricercare queste equazioni, assume una grande importanza il sistema di riferimento adottato, perché da esso dipende la positività o la negatività dei termini presenti nella linea elastica finale.
Per dimostrare le prime tre relazioni, che correlano spostamento, rotazione e curvatura, è necessario specificare che la terna di assi adottata è di tipo destrogiro, cioè opposta a quelle che comunemente vengono impiegate nella fisica. In particolare, facendo coincidere l'asse degli spostamenti orizzontali con l'asse dell'asta, e considerando positivo il verso antiorario per le rotazioni , l'asse degli spostamenti verticali ha verso positivo in basso. Questo perché in generale quando le aste orizzontali (travi) vengono inflesse, i loro punti si spostano verso il basso, ed è più comodo indicare l'abbassamento come spostamento positivo.
La prima relazione lega l'abbassamento con la rotazione . Preso sull'asse dell'asta indeformata un punto ad una ascissa , con abbassamento infinitesimo positivo , un secondo punto infinitesimamente prossimo, di ascissa , avrà un abbassamento anch'esso infinitesimo e positivo . La distanza tra i due punti sarà quindi , mentre la differenza tra gli abbassamenti sarà .
Trovandosi il secondo punto in un intorno del primo, è possibile confondere in quell'intervallo la linea elastica con la retta tangente, che sarà ruotata rispetto all'asse indeformato di un angolo infinitesimo e orario (quindi negativo) ; è possibile quindi scrivere la relazione:
,
ovvero:
,
(da completare)
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