Cerchio di Mohr
Da TecnoLogica.
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Il vettore s<sub>21</sub> deve invece essere disegnato in verticale, a partire dall'estremo del vettore s<sub>22</sub>, ma dal lato opposto rispetto a s<sub>12</sub>. Tenendo conto quindi della convenzione di Mohr sui segni, i punti estremi dei vettori s<sub>21</sub> e s<sub>22</sub> avranno coordinate (s<sub>11</sub>, -s<sub>12</sub>) e (s<sub>22</sub>, s<sub>21</sub>); unendo questi due punti è possibile trovare geometricamente il centro ''C'' del cerchio - intersezione del segmento con l'asse ''n'' - e il raggio - metà del medesimo segmento. | Il vettore s<sub>21</sub> deve invece essere disegnato in verticale, a partire dall'estremo del vettore s<sub>22</sub>, ma dal lato opposto rispetto a s<sub>12</sub>. Tenendo conto quindi della convenzione di Mohr sui segni, i punti estremi dei vettori s<sub>21</sub> e s<sub>22</sub> avranno coordinate (s<sub>11</sub>, -s<sub>12</sub>) e (s<sub>22</sub>, s<sub>21</sub>); unendo questi due punti è possibile trovare geometricamente il centro ''C'' del cerchio - intersezione del segmento con l'asse ''n'' - e il raggio - metà del medesimo segmento. | ||
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| + | <math> C = \frac{s_{11} + s_{22}}{2}</math>, | ||
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| + | <math> r = \sqrt { \frac{\left( s_{11} + s_{22} \right)^2}{4} + s_{12} ^2 } </math>. | ||
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| + | Conosciuti centro e raggio, gli autovalori s<sub>I</sub> e s<sub>II</sub> sono immediatamente determinati grazie alle relazioni: | ||
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| + | <math> s_I = C + r </math> e <math> s_{II} = C - r </math>. | ||
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Versione delle 17:28, 15 dic 2012
Descrizione
(da compilare)
Costruzione
Sia dato il tensore simmetrico piano di coordinate:
,
la cui rappresentazione nel piano è riportata nel disegno a fianco.
Questo tensore dà origine ad un cerchio di Mohr, che può essere tracciato seguendo le indicazioni che seguono.
Si tracci un sistema di assi coordinati ortogonali n0t, con n asse orizzontale, e si riportino su di esso i valori delle componenti s11 e s22; se le componenti sono positive, allora saranno positive anche le loro rappresentazioni su n.
Ad esempio, se s11 = 5 e s22 = 2, i punti da inserire nel diagramma per costruire il cerchio di Mohr avranno rispettivamente coordinate (5, 0) e (2, 0). Allo stesso modo, se s11 = -3 e s22 = 1, allora i punti avranno coordinate (-3, 0) e (1, 0).
Si procede quindi a riportare i valori delle componenti miste s12 e s21 secondo la convenzione di Mohr. Se nella rappresentazione del tensore (disegno in alto) la componente s12 ruota in senso antiorario intorno all'origine degli assi, allora deve essere riportata negativamente sul diagramma; in caso contrario, se s12 ruota in senso orario intorno all'origine, allora è positiva. Stabilito il segno, il vettore deve essere disegnato verticalmente (parallelo quindi all'asse t) a partire dall'estremo del vettore s11 precedentemente tracciato sull'asse n.
Il vettore s21 deve invece essere disegnato in verticale, a partire dall'estremo del vettore s22, ma dal lato opposto rispetto a s12. Tenendo conto quindi della convenzione di Mohr sui segni, i punti estremi dei vettori s21 e s22 avranno coordinate (s11, -s12) e (s22, s21); unendo questi due punti è possibile trovare geometricamente il centro C del cerchio - intersezione del segmento con l'asse n - e il raggio - metà del medesimo segmento.
In termini algebrici, l'ascissa del cerhio è pari a:
,
mentre il raggio è:
.
Conosciuti centro e raggio, gli autovalori sI e sII sono immediatamente determinati grazie alle relazioni:
e
.
(da completare)
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