Equilibrio (Meccanica)

Da TecnoLogica.

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Descrizione

Stato di un sistema meccanico completamente determinato dalla risultante delle forze, ivi comprese le reazioni vincolari, che l'ambiente esterno esercita su di esso, sollecitandolo; se tale risultante è nulla, il sistema si dice in equilibrio statico, in caso contrario si dice in equilibrio dinamico.
Facendo ricorso all'equazione fondamentale della meccanica ed al secondo principio della dinamica, per i quali è possibile scrivere che la risultante residua F delle forze agenti sul sistema è vettorialmente pari a:

$LaTeX: \overrightarrow{F} = m \overrightarrow{a}$ ,

è possibile affermare che:

un sistema è in equilibrio statico se la sua accelerazione è nulla;
un sistema è in equilibrio dinamico se la sua accelerazione è diversa da zero.

Nel linguaggio naturale, e spesso anche in quello tecnico, per corpo in equilibrio si intende se esso è soggetto ad un equilibrio statico; altrimenti viene detto squilibrato o non in equilibrio.

Equilibrio statico

Sia dato un sistema meccanico soggetto ad un insieme di forze note $LaTeX: \overrightarrow{F_1}$ , $LaTeX: \overrightarrow{F_2}$ , ... , $LaTeX: \overrightarrow{F_n}$ , direttamente applicate o risultanti di pressioni distribuite sulla superficie esterna. Il sistema risulta in equilibrio statico se:

$LaTeX: \overrightarrow{F _1} + \overrightarrow{F_2} + ... + \overrightarrow{F _n} = 0$ ,

dove "+" rappresenta l'operazione di somma vettoriale.

Equilibrio per via analitica

Sia 0x₁x₂x₃ un sistema di riferimento dello spazio tridimensionale $LaTeX: \mathbb{S} ^3$ ; sia poi $LaTeX: \bar{\mathbf{{R}}$ la risultante delle forze che sollecitano il sistema meccanico. Per definizione, il sistema è in equilibrio se:

$LaTeX: \bar{\mathbf{R}} = \bar{\mathbf{\omega}}$ ,

dove $LaTeX: \bar{\mathbf{\omega}}$ è il vettore nullo.
Applicando la decomposizione vettoriale su $LaTeX: \bar{\mathbf{R}}$ , si ottiene:

$LaTeX: R_1 \hat{\mathbf{e}}_1 + R_2 \hat{\mathbf{e}}_2 + R_3 \hat{\mathbf{e}}_3 = \bar { \mathbf{ \omega} }$ .

La relazione può essere espressa in termini di componenti scalari imponendo che:

le singole componenti siano identicamente nulle (Equilibrio alla traslazione)
i momenti delle singole componenti, calcolati rispetto a qualunque polo, siano identicamente nulli (Equilibrio alla rotazione).

Dette d₁, d₂ e d₃ le coordinate del punto di applicazione di $LaTeX: \bar{\mathbf{{R}}$ , l'equilibrio per via analitica potrà formalmente scriversi come soluzione del sistema:

$LaTeX: \begin{cases} \bar{R_1} = R_1 \hat{\mathbf{e}}_1 = \bar{\mathbf{\omega}} \Rightarrow R_1 = 0 \\ \bar{R_2} = R_2 \hat{\mathbf{e}}_2 = \bar{\mathbf{\omega}} \Rightarrow R_2 = 0 \\ \bar{R_3} = R_3 \hat{\mathbf{e}}_1 = \bar{\mathbf{\omega}} \Rightarrow R_3 = 0 \\ </p><p>\bar{M_1} = \bar{\mathbf{\omega}} \Rightarrow -R_2 d_3 + R_3 d_2 =0\\ \bar{M_2} = \bar{\mathbf{\omega}} \Rightarrow +R_1 d_3 - R_3 d_1 =0\\ \bar{M_3} = \bar{\mathbf{\omega}} \Rightarrow -R_1 d_2 + R_2 d_3 =0 \end{cases}$ ,

ottenuto avendo posto il polo del momento nell'origine degli assi^[1].

Ricordando che la generica componente in direzione i può scriversi come:

$LaTeX: R_i = F_{1i} + F_{2i} + F_{3i} + ... + F_{ni}$

l'equilibrio alla traslazione si esprime direttamente in funzione delle forze agenti sul sistema:

$LaTeX: \begin{cases} R_1 = 0 \Rightarrow F_{11} + F_{21} + F_{31} + ... + F_{n1} = 0\\ R_2 = 0 \Rightarrow F_{12} + F_{22} + F_{32} + ... + F_{n2} = 0\\ R_3 = 0 \Rightarrow F_{13} + F_{23} + F_{33} + ... + F_{n3} = 0\\ \end{cases}$ ;

allo stesso modo, detta d_{k i} la coordinata i-esima del punto di applicazione della forza $LaTeX: \bar{F_k}$ , l'equilibrio alla rotazione riferito all'origine risulta: $LaTeX: \begin{cases} M_1 = 0 \Rightarrow (-F_{12} d_{13} + F_{13} d_{12}) + (-F_{22} d_{23} + F_{23} d_{22}) + ... + (-F_{n2} d_{n3} + F_{n3} d_{n2}) = 0\\ M_2 = 0 \Rightarrow (+F_{11} d_{13} - F_{13} d_{11}) + (+F_{21} d_{23} - F_{23} d_{21}) + ... + (+F_{n1} d_{n3} - F_{n3} d_{n1}) = 0\\ M_3 = 0 \Rightarrow (-F_{11} d_{12} + F_{12} d_{13}) + (-F_{21} d_{22} + F_{22} d_{23}) + ... + (-F_{n1} d_{n2} + F_{n2} d_{n3}) = 0 \end{cases}$ .

Le precedenti relazioni prendono il nome di Equazioni cardinali della statica.

Equilibrio per via grafica

(Da completare)

Voci correlate

Note

↑ Naturalmente è possibile posizionare il polo ovunque, modificando di conseguenza i valori di d₁, d₂ e d₃.

La consultazione di TecnoLogica è preordinata alla lettura delle avvertenze

[0] Naturalmente è possibile posizionare il polo ovunque, modificando di conseguenza i valori di d₁, d₂ e d₃.

[1]

Equilibrio (Meccanica)

Da TecnoLogica.

Descrizione

Equilibrio statico

Equilibrio per via analitica

Equilibrio per via grafica

Voci correlate

Note

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