Equazione algebrica di terzo grado

Da TecnoLogica.

Descrizione

Equazione che può essere riarrangiata secondo la forma:

Tale equazione può avere:

• tre soluzioni reali;
• una soluzione reale e due complesse coniugate.

Nel primo caso (tutte le soluzioni reali), si possono avere due sottocasi:

1. le tre soluzioni sono tra loro distinte;
2. una soluzione è distinta e le altre due sono coincidenti.

Soluzione

Per giungere alla soluzione cercata, si opera in questo modo:

1. si esegue una traslazione di assi allo scopo di scrivere l’equazione nella forma y³ + p y + q = 0; questa equazione è scritta nella nuova incognita y = x + b/3a;
2. si calcola una soluzione reale y₁ della precedente equazione;
3. si ottiene una soluzione reale dell’equazione originaria ponendo x₁ = y₁ –b / 3a;
4. si divide il polinomio a x³ + b x² + c x per il binomio (x – x₁);
5. si riscrive quindi l’equazione nella forma (α x² + β x + γ) (x – x₁) = 0;
6. si risolve l’equazione algebrica di secondo grado α x² + β x + γ = 0 per determinare le rimanenti due soluzioni x₂ e x₃.

Per calcolare le soluzioni dell'equazione si procede quindi come segue:

• si scrive l’equazione semplificata y³ + p y + q = 0; i coefficienti dell’equazione sono:

;

• si calcola il valore

;

• se il precedente valore è minore di zero, si calcola il valore

;

si ottiene quindi:

;

• con delta maggiore o uguale a zero si calcolano i valori

;

da completare

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